>Irrasjonale likninger>Hva er irrasjonale likninger?

Hva er irrasjonale likninger?

Irrasjonale likninger er likninger der du har $x$ under et rottegn. Med denne typen likninger kan du ende opp med falske løsninger i svaret, slik at det å sette prøve er en del av løsningsmetoden. Her er oppskriften for hvordan du løser disse:

Regel

Irrasjonale likninger

1.: Isoler kvadratrottegnet på en side.
2.: Kvadrer begge sider, (opphøye i 2).
3.: Regn ut, rydd opp og løs likningen på vanlig måte.
4.: Sett prøve på svaret.

Å sette prøve på svaret er en del av utregningen av denne type likninger. Det skjer nemlig ofte at du får falske løsninger ved kvadrering, og det er i «sette prøve»-delen du luker ut disse.

Eksempel 1

Løs likningen $x - \sqrt{x^{2} - 1} = 1$

\begin{array}{l} x - \sqrt{x^{2} - 1} & = 1 \\ - \sqrt{x^{2} - 1} & = 1 - x \\ x - 1 & = \sqrt{x^{2} - 1} \\ {(x - 1)}^{2} & = {\sqrt{x^{2} - 1}}^{2} \\ x^{2} - 2 x + 1 & = x^{2} - 1 \\ - 2 x & = - 2 \\ x & = 1 \end{array}

Du må nå sette prøve på svaret:

\begin{array}{l} V.S & = 1 - \sqrt{1^{2} - 1} = 1 \\ H.S & = 1 \end{array}

Siden V.S. $=$ H.S er svaret på likningen $x = 1$ .

Eksempel 2

Løs likningen $\sqrt{x + 1} = x - 3$

\begin{array}{l} \sqrt{x + 1} & = x - 3 \\ {\sqrt{x + 1}}^{2} & = {(x - 3)}^{2} \\ x + 1 & = x^{2} - 6 x + 9 \\ x^{2} - 7 x + 8 & = 0 \end{array}

Nå løser du andregradslikningen ved

a b c

-formelen eller inspeksjon:

\begin{array}{l} x & = \frac{7 \pm \sqrt{{(7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (8)}}{2 \cdot 1} \\ = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 32}}{2} \\ = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{2}, \end{array}

slik at mulige løsninger er:

\begin{array}{l}  \end{array}

x = 7 + 17 2 ≈ 1,438 og x = 7 −17 2 ≈ 5,562

Du må nå sette prøve på svarene ved å sette inn

x = \frac{7 + \sqrt{17}}{2} \approx 1, 438

(om du får små avvik på desimalene når du setter prøve skyldes det avrundingen):

\begin{array}{l} V.S & = \sqrt{1, 438 + 1} = 1, 561 \\ H.S & = 1, 438 - 3 = - 1, 562 \end{array}

Siden V.S $\neq$ H.S er $x = \frac{7 + \sqrt{17}}{2} \approx 1, 438$ en falsk løsning.

Nå setter du inn

x = \frac{7 - \sqrt{17}}{2} \approx 5, 562

(om du får små avvik på desimalene når du setter prøve skyldes det avrundingen).

\begin{array}{l} V.S = \sqrt{5, 562 + 1} = 2, 562 \\ H.S = 5, 562 - 3 = 2, 562 \end{array}

Siden V.S $=$ H.S, så er $x = \frac{7 - \sqrt{17}}{2} \approx 5, 562$ en løsning.

Svaret på likningen er dermed

x = \frac{7 - \sqrt{17}}{2} \approx 5, 562 .

NB! Å sette prøve på svaret er en del av løsningsmetoden, fordi kvadrering kan føre til falske løsninger.

Tilbake