Derivasjonsregler

Den gode nyheten er at du slipper å derivere alle uttrykk med definisjonen av den deriverte. Her følger de reglene du trenger for å kunne derivere de mest grunnleggende funksjonene.

Se nøye på eksemplene og sørg for at du skjønner hva som skjer.

Regel

Derivasjonsregler

\begin{array}{l} f (x) & = k & \Leftrightarrow & f^{'} (x) & = 0 \\ f (x) & = a x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = a \\ f (x) & = x^{n} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = n x^{n - 1} \\ f (x) & = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \\ = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ f (x) & = e^{x} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = e^{x} \\ f (x) & = e^{k x} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = k e^{k x} \\ f (x) & = a^{x} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = a^{x} \ln a \\ f (x) & = \ln x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{1}{x} \\ f (x) & = \ln (k x) & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{1}{x} \\ f (x) & = \sin x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \cos x \\ f (x) & = \cos x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = - \sin x \\ f (x) & = \sin (k x) & \Rightarrow & f^{'} (x) & = k \cos (k x) \\ f (x) & = \cos (k x) & \Rightarrow & f^{'} (x) & = - k \sin (k x) \\ f (x) & = \tan x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{1}{\cos^{2} x} \\ = \tan^{2} x \\ f (x) & = \tan (k x) & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{k}{\cos^{2} (k x)} \\ = k + k \tan^{2} (k x) \end{array}

\begin{array}{l} f (x) & = k & \Leftrightarrow & f^{'} (x) & = 0 \\ f (x) & = a x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = a \\ f (x) & = x^{n} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = n x^{n - 1} \\ f (x) & = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ f (x) & = e^{x} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = e^{x} \\ f (x) & = e^{k x} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = k e^{k x} \\ f (x) & = a^{x} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = a^{x} \ln a \\ f (x) & = \ln x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{1}{x} \\ f (x) & = \ln (k x) & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{1}{x} \\ f (x) & = \sin x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \cos x \\ f (x) & = \cos x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = - \sin x \\ f (x) & = \sin (k x) & \Rightarrow & f^{'} (x) & = k \cos (k x) \\ f (x) & = \cos (k x) & \Rightarrow & f^{'} (x) & = - k \sin (k x) \\ f (x) & = \tan x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{1}{\cos^{2} x} = \tan^{2} x \\ f (x) & = \tan (k x) & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{k}{\cos^{2} (k x)} = k + k \tan^{2} (k x) \end{array}

For funksjoner

f (x)

g (x)

og konstant

k

gjelder:

\begin{array}{l} {(f (x) \pm g (x))}^{'} & = f^{'} (x) \pm g^{'} (x) \\ {(k f (x))}^{'} & = k f^{'} (x) \end{array}

Under er noen eksempler for å hjelpe deg til å benytte disse reglene.

Eksempel 1

f (x) = 6 \Rightarrow f^{'} (x) = 0

Eksempel 2

f (x) = 12 x \Rightarrow f^{'} (x) = 12

Eksempel 3

f (x) = x^{3} \Rightarrow f^{'} (x) = 3 x^{2}

Eksempel 4

f (x) = 7 x^{5} \Rightarrow f^{'} (x) = 35 x^{4}

Eksempel 5

f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{9} \Rightarrow f^{'} (x) = 6 x^{2} - 54 x^{8}

Eksempel 6

f (x) = \frac{1}{x} = x^{- 1} \Rightarrow f^{'} (x) = - \frac{1}{x^{2}}

Eksempel 7

f (x) = e^{4 x} \Rightarrow f^{'} (x) = 4 e^{4 x}

Eksempel 8

f (x) = 3^{x} \Rightarrow f^{'} (x) = 3^{x} \ln 3

Eksempel 9

f (x) = \ln 4 x \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{1}{x}

Eksempel 10

Jax Teller kjører langs en rett landevei i Italia. Strekningen $s$ han kjører er gitt ved funksjonen $s (t) = 50 t^{2}$ der $t$ er antall timer han har kjørt. Hva kan du si om farten hans?

Du finner farten til Jax etter tiden $t$ ved å derivere funksjonen $s (t)$ :

S^{'} (t) = 50 \cdot 2 t = 100 t

Ifølge modellen vil Jax øke farten med $100$ km/t for hver time han kjører.

Etter 30 minutter ( $0, 5$ timer) vil farten hans være

S^{'} (0, 5) = (100 \cdot 0, 5) km/t = 50 km/t

Etter 1 time til farten hans være

S^{'} (1) = (100 \cdot 1) km/t = 100 km/t

Etter $2, 5$ timer vil farten hans være

S^{'} (2, 5) = (100 \cdot 2, 5) km/t = 250 km/t

Når man kjører lenge langs en rett strekning blir man fartsblind, og merker ikke at man kjører for fort!

Forrige oppslag

Deriverbarhet

Neste oppslag

Kjerneregelen for derivasjon

Tilbake