>Funksjonsdrøfting>Funksjonsdrøfting av cosinusfunksjon

Funksjonsdrøfting av cosinusfunksjon

Se på funksjonen

f (x) = A \cos (c x + ϕ) + d .

NB! Siden $\sin x$ og $\cos x$ er så like, så vil du kunne bytte ut $\cos x$ med $\sin x$ i funksjonsuttrykket og få nesten tilsvarende regning for de stasjonære punktene, som i eksempelet under.

Du vet at grafen til den vanlige cosinusfunksjonen går i bølger og har derfor mange topp-, bunn- og nullpunkter. Funksjonen $f (x)$ har veldig lik form, men er forskjøvet og strukket i diverse retninger, sammenlignet med den originale funksjonen $\cos x$ .

Trigonometrisk funksjon med nullpunkter, ekstremalpunkter og vendepunkter markert.

Det finnes svært enkle metoder for å finne nullpunkter, topp- og bunnpunkter og vendepunkter til cosinusfunksjonen. Fremgangsmåtene for disse metodene skal du se på nå.

Regel

Nullpunkter

For å finne nullpunktene til

\cos x

setter du

x = \frac{π}{2} + n \cdot π

. For den mer avanserte cosinusfunksjonen

f (x) = A \cos (c x + ϕ) + d

må du sette $f (x) = 0$ og løse for $x$ .

Regel

Toppunkter

For å finne toppunktene til

\cos x

setter du

\cos x

til å være 1. Altså, toppunktet har

y

-verdi lik 1 og

x

-verdien er gitt ved

x = 0 + n \cdot 2 π

. For å finne toppunktet til den mer avanserte cosinusfunksjonen

f (x) = A \cos (c x + ϕ) + d

gjør du som følger:

For å regne ut $y$ -verdien til toppunktet må du sette inn $\cos (c x + ϕ) = 1$ i $f (x)$ , og regne ut.
For å finne de tilhørende $x$ -verdiene setter du $\cos (c x + ϕ) = 1$ , og løser for $x$ .

Regel

Bunnpunkter

For å finne bunnpunktene til

\cos x

setter du

\cos x

til å være

- 1

. Altså, bunnpunktet har

y

-verdi lik

- 1

x

-verdien er gitt ved

x = π + n \cdot 2 π

. For å finne bunnpunktet til

f (x) = A \cos (c x + ϕ) + d

gjør du som følger:

For å regne ut $y$ -verdien til bunnpunktet må du sette inn $\cos (c x + ϕ) = - 1$ i $f (x)$ , og regne ut.
For å finne de tilhørende $x$ -verdiene setter du $\cos (c x + ϕ) = - 1$ , og løser for $x$ .

Teori

Vendepunkter

For

\cos x

er vendepunktene de samme som nullpunktene. For

f (x) = A \cos (c x + ϕ) + d

finner du $y$ -verdiene til vendepunktet ved å lese av verdien til $d$ . For å finne $x$ -verdien setter du $\cos (c x + ϕ) = 0$ .

Eksempel 1

Du har funksjonen
$f (x) = 4 \cos (π x + \frac{2 π}{3}) - 2 .$

Du skal finne nullpunkt, toppunkt, bunnpunkt og vendepunkt til $f$ .

Nullpunkt

Du må sette $f (x) = 0$ og løse for $x$ : $\begin{array}{l} 4 \cos (π x + \frac{2 π}{3}) - 2 & = 0 \\ \cos (π x + \frac{2 π}{3}) & = \frac{1}{2} \end{array}$

Grunnlikningen har løsningene

\begin{array}{l} π x_{1} + \frac{2 π}{3} & = \frac{π}{3} + n \cdot 2 π, \\ π x_{2} + \frac{2 π}{3} & = - \frac{π}{3} + n \cdot 2 π . \end{array}

Du løser disse for $x$ og får

\begin{array}{l} π x_{1} & = - \frac{π}{3} + n \cdot 2 π \\ x_{1} & = - \frac{1}{3} + 2 n \\ π x_{2} & = - π + n \cdot 2 π \\ x_{2} & = - 1 + 2 n \end{array}

Nullpunktene er dermed

\dots, (- 1, 0), (- \frac{1}{3}, 0), (1, 0), (\frac{5}{3}, 0), \dots

Toppunkt

For å finne toppunktet setter du $\cos (π x + \frac{2 π}{3}) = 1$ i uttrykket ditt:

f (x) = 4 \cdot 1 - 2 = 2 .

Du har nå funnet $y$ -verdien til toppunktet. Du finner $x$ -verdien ved å løse likningen

\begin{array}{l} \cos (π x + \frac{2 π}{3}) & = 1 \\ π x + \frac{2 π}{3} & = 0 + n \cdot 2 π \\ π x & = 0 - \frac{2 π}{3} + n \cdot 2 π \\ π x & = - \frac{2 π}{3} + n \cdot 2 π \\ x & = - \frac{2}{3} + 2 n \end{array}

Toppunktene er dermed

\dots, (- \frac{2}{3}, 2), (\frac{4}{3}, 2), (\frac{10}{3}, 2), (\frac{16}{3}, 2), \dots

NB! Fordi 0 og $- 0$ er samme tall, løser du bare likning for én av verdiene, i dette tilfellet 0. Dermed ender du opp med én likning, og ikke to slik du er vant med fra løsning av trigonometriske likninger med cosinus.

Bunnpunkt

For å finne bunnpunktet setter du $\cos (π x + \frac{2 π}{3}) = - 1$ i uttrykket ditt:

f (x) = 4 \cdot (- 1) - 2 = - 6 .

Du har nå funnet $y$ -verdien til bunnpunktet. Du finner $x$ -verdien ved å løse likningen

\begin{array}{l} \cos (π x + \frac{2 π}{3}) & = - 1 \\ π x + \frac{2 π}{3} & = π + n \cdot 2 π \\ π x & = - \frac{π}{3} + n \cdot 2 π \\ x & = - \frac{1}{3} + 2 n \end{array}

Bunnpunktene er dermed

\begin{array}{l} \dots, & (- \frac{1}{3}, - 6), (\frac{5}{3}, - 6), (\frac{11}{3}, - 6), \\ (\frac{17}{3}, - 6), \dots \end{array}

\begin{array}{l} \dots, (- \frac{1}{3}, - 6), (\frac{5}{3}, - 6), (\frac{11}{3}, - 6), (\frac{17}{3}, - 6), \dots \end{array}

NB! Fordi

π

- π

svarer til de samme løsningene i likningen, løser du bare likning for én av verdiene, i dette tilfellet

π

. Dermed ender du opp med én likning, og ikke to slik du er vant med fra løsning av trigonometriske likninger med cosinus.

Vendepunkt

Du finner $y$ -verdien til vendepunktet ved å lese av verdien for $d = - 2$ . Du må nå finne $x$ -verdien ved å løse likningen $\cos (π x + \frac{2 π}{3}) = 0$ . Grunnlikningen har løsningene

\begin{array}{l} π x_{1} + \frac{2 π}{3} & = \frac{π}{2} + n \cdot 2 π, \\ π x_{2} + \frac{2 π}{3} & = - \frac{π}{2} + n \cdot 2 π . \end{array}

Du løser disse for $x$ og får:

\begin{array}{l} π x_{1} & = - \frac{2 π}{3} + \frac{π}{2} + n \cdot 2 π \\ = - \frac{π}{6} + n \cdot 2 π \\ x_{1} & = - \frac{1}{6} + 2 n \\ π x_{2} & = - \frac{2 π}{3} - \frac{π}{2} + n \cdot 2 π \\ = - \frac{7 π}{6} + n \cdot 2 π \\ x_{2} & = - \frac{7}{6} + 2 n \end{array}

Vendepunktene er dermed

\begin{array}{l} \dots, & (- \frac{1}{6}, - 2), (\frac{5}{6}, - 2), (\frac{11}{6}, - 2), \\ (\frac{17}{6}, - 2), \dots \end{array}

\begin{array}{l} \dots, (- \frac{1}{6}, - 2), (\frac{5}{6}, - 2), (\frac{11}{6}, - 2), (\frac{17}{6}, - 2), \dots \end{array}

Forrige oppslag

Drøfting av potensfunksjon

Neste oppslag

Funksjonsdrøfting av eksponentialfunksjoner

Tilbake