Asymptoter

Asymptoter er linjer som grafen beveger seg mot, men aldri treffer. Asymptoter er usynlige linjer som du vil tegne som stiplede linjer, slik at det er lett å se hvor de er.

Teori

Vertikale asymptoter

Linjen $x = a$ er en vertikal asymptote hvis $f (x) \to \pm \infty$ når $x \to a$ . Vertikale asymptoter oppstår når nevneren i en brøk er null, fordi funksjonen ikke er definert der.

Teori

Horisontale asymptoter

Linjen

y = c

er en horisontal asymptote hvis

f (x) \to c

når

x \to \pm \infty

NB! Det finnes også skrå asymptoter men de er ikke like vanlige å regne ut. Du vil aldri bli bedt om å regne skrå asymptoter for hånd, men bli ikke overrasket om du får beskjed om å lese den av i Algebrafeltet i GeoGebra! Den skrå asymptoten vil da være den som begynner med

y = \dots

Eksempel 1

Du har uttrykket $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 2}$ . Finn eventuelle vertikal og horisontale asymptoter.

Vertikal asymptote

Du finner den vertikale asymptoten ved å sette nevneren lik null:

x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2

Horisontal asymptote

Så finner du horisontal asymptote ved å regne ut grenseverdien:

\begin{array}{l} \lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 2} & = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}}} \\ = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x} - \frac{2}{x}} \\ = \frac{1 + 0 + 0}{0} \\ \Rightarrow divergent \end{array}

NB! Ordet «divergent», i sammenheng med grenseverdier, betyr at grensen ikke eksisterer.

Figuren viser grafen til funksjonen i Eksempel 1. Som du ser er det en vertikal asymptote i $x = 2$ og ingen horisontal asymptote. Det finnes en skrå asymptote. Denne kan du kun bli spurt om dersom det er en GeoGebra-oppgave. Da leser du av uttrykket $y = \dots$ i Algebrafeltet.

f(x) fra eksempel 1 med tilhørende asymptoter.

Forrige oppslag

Kontinuitet for funksjoner

Tilbake