Integrerende faktor

Differensiallikningens orden er bestemt av hvor mange ganger den er derivert! Altså, en førsteordens differensiallikning består derfor kun av funksjonen og dens deriverte.

En differensiallikning av første orden kan skrives som

y^{'} + f (x) y = g (x) .

Slike likninger løser du ved hjelp av integrerende faktor.

Teori

Integrerende faktor

Integrerende faktor er $e^{F (x)}$ der

F (x) = \int f (x) d x,

hvor $F^{'} (x) = f (x)$ uten $C$ .

Ved hjelp av produktsetningen ser du at

{(e^{F (x)} y)}^{'} = e^{F (x)} y^{'} + f (x) e^{F (x)} y,

og det er dette du ønsker å smugle inn i den opprinnelige likningen. Differensiallikningen kan nå løses ved hjelp av integrerende faktor.

Regel

Fremgangsmåte for å løse differensiallikninger med integrerende faktor

\begin{array}{l} y^{'} + f (x) y & = g (x) | \cdot e^{F (x)} \\ e^{F (x)} y^{'} + f (x) e^{F (x)} y & = {(e^{F (x)} y)}^{'} = e^{F (x)} g (x) \\ \int {(e^{F (x)} y)}^{'} d x & = \int e^{F (x)} g (x) d x \\ e^{F (x)} y & = \int e^{F (x)} g (x) d x \\ y & = \int e^{F (x)} g (x) d x \\ \cdot e^{- F (x)} \end{array}

\begin{array}{l} y^{'} + f (x) y & = g (x) | \cdot e^{F (x)} \\ e^{F (x)} y^{'} + f (x) e^{F (x)} y & = {(e^{F (x)} y)}^{'} = e^{F (x)} g (x) \\ \int {(e^{F (x)} y)}^{'} d x & = \int e^{F (x)} g (x) d x \\ e^{F (x)} y & = \int e^{F (x)} g (x) d x \\ y & = \int e^{F (x)} g (x) d x \cdot e^{- F (x)} \end{array}

Eksempel 1

Løs differensiallikningen $y^{'} + 2 x y = e^{x}$ ved bruk av integrerende faktor

\begin{array}{l} y^{'} + 2 x y & = e^{x} & | \cdot e^{x^{2}} \\ e^{x^{2}} y^{'} + 2 x e^{x^{2}} y & = 2 x e^{x^{2}} \\ {(e^{x^{2}} y)}^{'} & = 2 x e^{x^{2}} \\ \int {(e^{x^{2}} y)}^{'} d x & = \int 2 x e^{x^{2}} d x \\ e^{x^{2}} y & = \int 2 x e^{x^{2}} d x \\ e^{x^{2}} y & \overset{*}{=} \int 2x e^{u} \frac{1}{2x} d u \\ e^{x^{2}} y & = \int e^{u} d u \\ e^{x^{2}} y & = e^{u} + C \\ e^{x^{2}} y & = e^{x^{2}} + C & | \cdot e^{- x^{2}} \\ y & = 1 + C e^{- x^{2}} \end{array}

\begin{aligned} u & = x^{2} \\ \frac{d u}{d x} & = 2 x \\ d u & = 2 x d x \\ \frac{1}{2 x} d u & = d x \end{aligned}

Forrige oppslag

Separable differensiallikninger

Neste oppslag

Hvordan finne logistisk vekst og bæreevne?

Tilbake