>Grunnleggende om funksjoner>Skjæringspunkter

Skjæringspunkter

Skjæringspunktene mellom to grafer er de koordinatene der grafene treffer hverandre. Du finner skjæringspunktene ved å løse likningssettet som består av de to funksjonsuttrykkene.

Regel

Skjæring mellom to grafer

Du finner punktene der grafen til $f$ og grafen til $g$ skjærer hverandre ved å løse likningen $f (x) = g (x)$ .

Eksempel 1

Finn skjæringen mellom $f (x) = - x - 1$ og $g (x) = 2 x + 8$

Siden $f (x) = y$ og $g (x) = y$ kan du sette disse lik hverandre:

\begin{array}{l} - x - 1 & = 2 x + 8 \\ - 3 x & = 9 | : - 3 \\ x & = - 3 \end{array}

Sett $x$ inn i $f (x) = - x - 1$ fordi det er det enkleste uttrykket av de to. Du kan også sette inn i $g (x)$ .

f (- 3) = - (- 3) - 1 = 2 .

Skjæringspunktet mellom $f (x)$ og $g (x)$ er

(x, y) = (- 3, 2) .

Grafene til f(x) og g(x) i samme koordinatsystem med skjæringspunktet markert

Eksempel 2

Finn skjæringen mellom $f (x) = x^{2} + 3 x - 2$ og $g (x) = 2 x + 3$

Siden $f (x) = y$ og $g (x) = y$ kan du sette disse lik hverandre:

\begin{array}{l} x^{2} + 3 x - 2 & = 2 x + 3 \\ x^{2} + x - 5 & = 0 \end{array}

Løser andregradslikningen ved hjelp av $a b c$ -formelen:

\begin{array}{l} x & = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1} \\ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20}}{2} \\ = \frac{- 1 \pm \sqrt{21}}{2}, \end{array}

så

\begin{array}{l} x_{1} & = \frac{- 1 - \sqrt{21}}{2} \approx - 2, 79, \\ x_{2} & = \frac{- 1 + \sqrt{21}}{2} \approx 1, 79 . \end{array}

Sett $x_{1}$ og $x_{2}$ inn i $g (x) = 2 x + 3$ fordi det er det enkleste uttrykket. Du kan også sette inn i $f (x)$ . $\begin{array}{l} y_{1} & = g (- 2, 79) = 2 \cdot (- 2, 79) + 3 = - 2, 58 \\ y_{2} & = g (1, 79) = 2 \cdot 1, 79 + 3 = 6, 58 \end{array}$

Skjæringspunktene mellom $f (x)$ og $g (x)$ er

\begin{array}{l} (x_{1}, y_{1}) & = (- 2, 79, - 2, 58), \\ (x_{2}, y_{2}) & = (1, 79, 6, 58) . \end{array}

Grafene til f(x) og g(x) i samme koordinatsystem med skjæringspunktene markert

Eksempel 3

For hvilke verdier av $x$ er $f (x) = \sin x$ og $g (x) = \cos x$ like?

Skjæringspunktene mellom grafene finner du ved å sette de lik hverandre:

\begin{array}{l} \sin x & = \cos x | : \cos x \\ \tan x & = 1 \\ x & = \tan^{- 1} (1) = \frac{π}{4} + n π \end{array}

Du må sjekke at du ikke mistet noen løsninger siden du delte på $\cos x$ , som kan bli 0. Du sjekker dette ved å sjekke hva som skjer hvis $\cos x = 0$ . Da må $x = \frac{π}{2}$ som betyr $\sin x = 1$ , eller $x = \frac{3 π}{2}$ som betyr $\sin x = - 1$ . I begge tilfeller er $\sin x$ forskjellig fra $\cos x$ , så dette er ikke løsninger.

Det er altså uendelig mange skjæringspunkter, og punktene har $x$ -verdier lik $x = \frac{π}{4} + n π$ for $n \in ℤ$ . $y$ -verdiene finner du ved å sette inn i en av funksjonene, for eksempel i $f (x) = \sin x$ . Her må du passe på at selv om $\tan x$ har periode på $π$ har du funnet to forskjellige vinkler på enhetssirkelen, med $π$ radianer mellom. Derfor gir dette to forskjellige verdier når du setter tilbake inn i $f (x) = \sin x$ : $\begin{array}{l} f (\frac{π}{4}) & = \sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ f (\frac{π}{4} + π) & = \sin \frac{5 π}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2} . \end{array}$

Dette er to forskjellige $y$ -verdier, $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ og $y = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ , som hver tilhører sin vinkel på enhetssirkelen. Disse vinklene gjentar seg med periode på $2 π$ . Til sammen blir det altså to typer skjæringspunkter:

\begin{array}{l} (x_{1}, y_{1}) & = (\frac{π}{4} + n \cdot 2 π, \frac{\sqrt{2}}{2}), & n \in ℤ \\ (x_{2}, y_{2}) & = (\frac{5 π}{4} + n \cdot 2 π, - \frac{\sqrt{2}}{2}), & n \in ℤ \end{array}

\begin{array}{l} (x_{1}, y_{1}) & = (\frac{π}{4} + n \cdot 2 π, \frac{\sqrt{2}}{2}), & n \in ℤ \\ (x_{2}, y_{2}) & = (\frac{5 π}{4} + n \cdot 2 π, - \frac{\sqrt{2}}{2}), & n \in ℤ \end{array}

NB! Du er i denne oppgaven fornøyd med svaret selv om det inneholder

n

, fordi du ble bedt om å finne alle punktene, altså den generelle løsningen, ikke punktene innenfor et intervall.

Forrige oppslag

Definisjonsmengde og verdimengde til funksjon

Neste oppslag

Nullpunkter

Tilbake