Delbrøkoppspalting

Delbrøkoppspalting har et kjipt navn, men er en enkel og grei metode. Du ønsker å bruke faktorene i den nevneren du har til å danne nye og penere brøker. Når de nye brøkene er på plass blir integrasjonen svært lett. Det liker du.

Regel

Fremgangsmåte ved delbrøkoppspalting

1.

Faktoriser nevneren ved å finne nullpunktene.

2.

Mellomregning (se boksen nedenfor):

a): Sett uttrykket lik en sum av brøker og velg konstanter $A, B, C, \dots$ i teller. Én bokstav for hver brøk.
b): Gang med fellesnevner.
c): Sorter de ulike leddene for seg.
d): Lag likningsett og løs for $A, B, C, \dots$

3.

Sett inn i integralet og integrer. Jippi!

Eksempel 1

Regn ut $\int \frac{3 x}{x^{2} - x - 2} d x$

\begin{array}{l} \int \frac{3 x}{x^{2} - x - 2} d x & = \int \frac{3 x}{(x - 2) (x + 1)} d x \\ \overset{*}{=} \int \frac{2}{x - 2} + \frac{1}{x + 1} d x \\ = 2 \ln | x - 2 | + \ln | x + 1 | + C \end{array}

\begin{aligned} \frac{3 x}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1} \\ 3 x = A (x + 1) + B (x - 2) \\ 3 x = A x + A + B x - 2 B \\ 3 x + 0 = (A + B) x + (A - 2 B) \\ Setter like ledd lik hverandre og løser. \\ Du får da A + B = 3 og A - 2 B = 0, \\ som gir A = 2 og B = 1 . \end{aligned}

Forrige oppslag

Substitusjon

Neste oppslag

Arealet mellom to grafer

Tilbake