Likningen til en sirkel

Sirkel med radius.

Regel

Sirkelen

Likningen til en sirkel med sentrum i $(x_{0}, y_{0})$ og radius $r$ er gitt ved

{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = r^{2} .

Dette betyr at alle punkter $(x, y)$ som oppfyller likningen ligger på sirkelbuen.

For å finne radius i sirkelen kan du bruke denne formelen:

r = \sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}}

Eksempel 1

Du jobber med sirkelen med sentrum i $(- 1, 2)$ . Punktet $(3, 5)$ ligger på sirkelbuen. Hva er radius i sirkelen?

Her er $(x_{0}, y_{0}) = (- 1, 2)$ og punktet på sirkelen er $(x, y) = (3, 5)$ . Radius i sirkelen blir da

r = \sqrt{{(3 + 1)}^{2} + {(5 - 2)}^{2}} = 5 .

Eksempel 2

Vis at $x^{2} + 6 x + y^{2} - 2 y - 6 = 0$ er en sirkel

For å vise dette må du bruke metoden å fullføre kvadratet. Du vil da legge til og trekke ifra ${(\frac{b}{2})}^{2}$ for $x$ -leddene og for $y$ -leddene. Da får du som følger:

\begin{array}{l} 0 & = x^{2} + 6 x + y^{2} - 2 y - 6, \\ = x^{2} + 6 x + {(\frac{6}{2})}^{2} - {(\frac{6}{2})}^{2} \\ + y^{2} - 2 y + {(\frac{- 2}{2})}^{2} - {(\frac{- 2}{2})}^{2} - 6, \\ = x^{2} + 6 x + 9 - 9 + y^{2} - 2 y + 1 - 1 - 6, \\ = {(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 9 - 1 - 6, \\ = {(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 16 . \end{array}

\begin{array}{l} 0 & = x^{2} + 6 x + y^{2} - 2 y - 6, \\ = x^{2} + 6 x + {(\frac{6}{2})}^{2} - {(\frac{6}{2})}^{2} + y^{2} - 2 y + {(\frac{- 2}{2})}^{2} - {(\frac{- 2}{2})}^{2} - 6, \\ = x^{2} + 6 x + 9 - 9 + y^{2} - 2 y + 1 - 1 - 6, \\ = {(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 9 - 1 - 6, \\ = {(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 16 . \end{array}

Altså,

{(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4^{2} .

Du ser av dette at $x^{2} + 6 x + y^{2} - 2 y - 6 = 0$ er en sirkel med sentrum i $(- 3, 1)$ og med radius $r = 4$ .

Forrige oppslag

Speiling og symmetri av sirkelen

Neste oppslag

Thales' setning

Tilbake