Punktets potens

Du bruker punktets potens for å finne lengder og vinkler i geometriske figurer som involverer sirkler.

Formelen fremkommer ved ved at du gjenkjenner at trekantene $△PBD$ og $△PCA$ er formlike. De er formlike fordi de har to like vinkler, og da er den tredje vinkelen bestemt. Vinkelen $\angle P$ er felles for begge trekantene, og $\angle PBD=\angle PCA$ fordi de spenner over samme vinkelbue, nemlig vinkelbuen $AD$. Dermed kan du bruke forholdet mellom samsvarende sider og komme frem til formelen, slik som dette:

$$\begin{array}{llllllll}\hfill \frac{PB}{PC}& =\frac{PD}{PA}& \hfill & |\cdot PA& \hfill & & \hfill & \\ \hfill \frac{PA\cdot PB}{PC}& =PD& \hfill & |\cdot PC& \hfill & & \hfill & \\ \hfill PA\cdot PB& =PD\cdot PC& \hfill & & \hfill & \end{array}$$

Noen linjer vil treffe sirkelen kun i ett punkt – nemlig tangenter. Da blir likningen for punktets potens

$${(PA)}^2=PC\cdot PD$$

Dette gir mening, fordi du kan tenke deg at det er to skjæringspunkter som ligger oppå hverandre, og har akkurat samme avstand til $P$. Si at punktene $A$ og $B$ sammenfaller, da blir $PB=PA$. Setter du dette inn i den første formelen ser du at den andre fremkommer. Slik som dette:

$$\begin{array}{llll}\hfill PA\cdot PB& =PD\cdot PC& \hfill & \\ \hfill PA\cdot PA& =PD\cdot PC& \hfill & \\ \hfill {(PA)}^2& =PD\cdot PC& \hfill & \end{array}$$