Hva er en periferivinkel og hva er en sentralvinkel?

Sirkel med en periferivinkel og en sentralvinkel

En vinkel med toppunkt på sirkelperiferien kalles en periferivinkel.

En vinkel med toppunkt i sirkelsenteret kalles en sentralvinkel.

Formel

Dersom periferivinkelen $v$ utspenner samme vinkelbue som en sentralvinkelen $u$ , har du at sentralvinkelen er dobbelt så stor som periferivinkelen:

u = 2 \cdot v .

Tenk på dette

Se nøye på figuren!

Sirkel med periferivinkel og sentralvinkel

Fra figuren får du følgende informasjon:

Nå fletter du dette sammen punktvis oppover og får at:

\begin{array}{l} u & = 360 ° - w - z \\ = 360 ° - (180 ° - 2 x) - (180 ° - 2 y) \\ = 360 ° - 180 ° + 2 x - 180 ° + 2 y \\ = 2 x + 2 y \\ = x + x + y + y \\ = (x + y) + (x + y) \\ = v + v \\ = 2 v \end{array}

Q.E.D

Eksempel 1

Finn alle vinklene i de to trekantene

Siden du kjenner periferivinkelen så vet du at sentralvinkelen er dobbel så stor. Dermed får du at

∠ S = 2 \cdot 40 ° = 80 ° .

Trekant $△ A S C$ er en likebeint trekant siden $A S = C S$ er radien i sirkelen. Dermed vet du at

∠ C A S = ∠ A C S = \frac{180 ° - 80 °}{2} = 50 ° .

Trekant $△ A B C$ har vinkel $∠ B = 40 °$ ; du må dermed finne $∠ C A B$ og $∠ A C B$ . Siden du vet at $∠ S A B = 20 °$ , så har du at

∠ C A B = 50 ° + 20 ° = 70 ° .

Da blir den siste vinkelen

∠ A C B = 180 ° - 40 ° - 70 ° = 70 ° .

Du har nå funnet alle vinklene i de to trekantene.