>Trigonometriske setninger>Hva er sinussetningen?

Hva er sinussetningen?

Trekant med vinkler og sider

Enhetssirkelen viser at $\sin^{- 1} (A)$ kan gi to vinkler på intervallet $[0 °, 180 °]$ . Det er derfor svært viktig at du er sikker på at du har fått riktig vinkel når du bruker denne formelen. Dersom vinkelen du har virker feil i forhold til tegningen eller opplysningene du har fått oppgitt, prøv å regne ut $180$ ° minus vinkelen du har funnet,

180 ° - v

NB! Det er smart å sette den ukjente oppe til venstre i disse likhetene. Husk at du kun skal bruke to av de tre leddene i formelen! De tre leddene er tatt med for å vise at alle forholdene er like.

Formel

Sinussetningen

Gitt to vinkler og én side, eller to sider og én vinkel, da har du at

\begin{align} \frac{a}{\sin A} & = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} & (1) \\ \frac{\sin A}{a} & = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} & (2) \end{align}

Regel

Bruksområde

Du kan bruke sinussetningen til

Å finne en side dersom du har to vinkler og én motstående side til en av vinklene. Formel (1).
Å finne en vinkel dersom du har en vinkel og to sider, der én av sidene er motstående til den vinkelen du skal finne. Formel (2).

I begge tilfeller bruker du CAS til beregningene og arcsin(<x>) for inversfunksjonen $\sin^{- 1} (x)$ .

Eksempel 1

Du har firkanten $□ A B C D$ med $A B = 12$ , $A D = 6$ , $C D = 5$ og $∠ A B D = 30 °$ . Finn $∠ A$ og diagonalen $B D$ .

Det er lurt å tegne en hjelpefigur. Her er den:

To trekanter og en firkant i samme figur

Finn først $∠ A D B$ : $\begin{array}{l} \frac{\sin ∠ A D B}{12} & = \frac{\sin 30 °}{6} & | \cdot 12 \\ \sin ∠ A D B & = \frac{12 \cdot \sin 30 °}{6} = 1 \\ ∠ A D B & = \sin^{- 1} (1) \\ = 90 ° \\ ∠ A & = 180 ° - 90 ° - 30 ° \\ = 60 ° \end{array}$

For å finne diagonalen $B D$ kan du bruke Pytagoras’ setning eller sinussetningen. Her brukes sinussetningen:

\begin{array}{l} \frac{B D}{\sin 60 °} & = \frac{6}{\sin 30 °} & | \cdot \sin 60 ° \\ B D & = \frac{6 \cdot \sin 60 °}{\sin 30 °} \\ \approx \frac{6 \cdot 0, 866}{0, 5} \\ \approx 10, 4 \end{array}

Siden $B D \approx 10, 4$ .

Eksempel 2

En trekant $△ A B C$ er gitt ved at vinkel $∠ A = 40 °$ , $A C = 8, 0 cm$ og $B C = 6, 0 cm$ . Tegn trekanten og finn kantene og vinklene.

Du tegner først et linjestykke $l$ og markerer punktet $A$ , og lager en vinkel $∠ A = 40 °$ . Deretter setter du av $A C = 8, 0 cm$ langs venstre vinkelbein. Du vet ikke ennå hvor $B$ ligger, men du vet at $B C = 6, 0 cm$ . Sett derfor passeren i $C$ og slå en bue. Du ser at den skjærer $l$ i to punkter. Kall punktene for $B_{1}$ og $B_{2}$ . Det er dermed to trekanter $△ A B_{1} C$ og $△ A B_{2} C$ som oppfyller disse kravene, som vist i figurene under.