...

>Trigonometriske setninger>Liste over trigonometriske identiteter

Liste over trigonometriske identiteter

Følgende identiteter brukes mye innenfor trigonometri, og du vil se at du får bruk for disse når du løser slike oppgaver.

Formel

Trigonometriske identiteter

1.: $\cos^{2} α + \sin^{2} α = 1$
2.: $\sin (α + \frac{π}{2}) = \cos α$
3.: $\cos (α + \frac{π}{2}) = - \sin α$
4.: $\sin 2 α = 2 \sin α \cos α$
5.: $\begin{aligned} \cos 2 α & = \cos^{2} α - \sin^{2} α \\ = 2 \cos^{2} α - 1 \\ = 1 - 2 \sin^{2} α \end{aligned}$

$\cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α = 2 \cos^{2} α - 1 = 1 - 2 \sin^{2} α$
6.: $\sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β$
7.: $\sin (α - β) = \sin α \cos β - \cos α \sin β$
8.: $\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β$
9.: $\cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β$
10.: $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$

Eksempel 1

Vis at $\cos (\frac{π}{4} + v) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos v - \sin v)$

For å regne ut dette bruker du formelen

\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β .

Da blir utregningen:

\begin{array}{l} \cos (\frac{π}{4} + v) & = \cos \frac{π}{4} \cos v - \sin \frac{π}{4} \sin v \\ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos v - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin v \\ = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos v - \sin v) . \end{array}

Eksempel 2

Finn eksaktverdien til $\sin \frac{π}{12}$

For å løse denne oppgaven skriver du at $\sin (α) = \sin (π - α)$ og bruker sammenhengen

\sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β .

Da blir utregningen:

\begin{array}{l} \sin (\frac{π}{12}) & = \sin (π - \frac{π}{12}) \\ = \sin (\frac{11 π}{12}) \\ = \sin (\frac{π}{6} + \frac{3 π}{4}) \\ = \sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{3 π}{4}) \\ + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{3 π}{4}) \\ = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{array}

\begin{array}{l} \sin (\frac{π}{12}) & = \sin (π - \frac{π}{12}) \\ = \sin (\frac{11 π}{12}) \\ = \sin (\frac{π}{6} + \frac{3 π}{4}) \\ = \sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{3 π}{4}) \\ = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{array}

Eksempel 3

Gitt $\sin v = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , finn $\cos v$

For å regne ut dette bruker du formelen

\cos^{2} α + \sin^{2} α = 1 .

Da blir utregningen:

\begin{array}{l} \cos^{2} v + \sin^{2} v & = 1 \\ \cos^{2} v & = 1 - \sin^{2} v \end{array}

Dermed er

\begin{array}{l} \cos v & = \pm \sqrt{1 - \sin^{2} v} \\ = \pm \sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}} \\ = \pm \sqrt{1 - \frac{3}{4}} \\ = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \\ = \pm \frac{1}{2} \end{array}

Eksempel 4

Gitt $\cos^{2} v + \sin^{2} v = \tan^{2} v$ , finn $\sin v$

For å løse denne må du bruke flere av sammenhengene over for så å løse ut $\sin v$ :

\begin{array}{l} 2 \cos^{2} v + \sin^{2} v & = \tan^{2} v \\ 1 - \sin^{2} v + \sin^{2} v & = \frac{\sin^{2} v}{\cos^{2} v} \\ 1 & = \frac{\sin^{2} v}{\cos^{2} v} | \cdot \cos^{2} v \\ \cos^{2} v & = \sin^{2} v \\ 1 - \sin^{2} v & = \sin^{2} v \\ 1 & = 2 \sin^{2} v | : 2 \\ \frac{1}{2} & = \sin^{2} v \end{array}

\begin{array}{l} \cos^{2} v + \sin^{2} v & = \tan^{2} v \\ 1 - \sin^{2} v + \sin^{2} v & = \frac{\sin^{2} v}{\cos^{2} v} \\ 1 & = \frac{\sin^{2} v}{\cos^{2} v} & | \cdot \cos^{2} v \\ \cos^{2} v & = \sin^{2} v \\ 1 - \sin^{2} v & = \sin^{2} v \\ 1 & = 2 \sin^{2} v & | : 2 \\ \frac{1}{2} & = \sin^{2} v \end{array}

Dermed er

\sin v = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} .

Eksempel 5

Vis at $\cos (2 α) = \cos^{2} α - \sin^{2} α$

Når du skal vise slike sammenhenger så vil du lage en ekvivalens fra venstresiden av likheten til høyresiden av likheten ved hjelp av logiske steg:

\begin{array}{l} \cos (2 α) & = \cos (α + α) \\ = \cos α \cos α - \sin α \sin α \\ = \cos^{2} α - \sin^{2} α \end{array}

Q.E.D

Eksempel 6

Vis at $\sin (2 α) = 2 \sin α \cos α$

Når du skal vise slike sammenhenger så vil du lage en ekvivalens fra venstresiden av likheten til høyresiden av likheten ved hjelp av logiske steg:

\begin{array}{l} \sin (2 α) & = \sin (α + α) \\ = \sin α \cos α + \cos α \sin α \\ = 2 \sin α \sin α \end{array}

Q.E.D

Forrige oppslag

Hva er cosinussetningen?

Hvordan løse trigonometriske grunnlikninger