Grenseinntekt, grensekostnad og grenseoverskudd

1.

Grenseinntekten er den deriverte av inntekten:

$$I^{\prime }(x)=10x-150$$

Grensekostnaden er den deriverte av kostnaden:

$$K^{\prime }(x)=30x-1180$$

Grenseoverskuddet kan du finne enten ved å derivere overskuddsfunksjonen eller ved å bruke formelen over. I dette tilfellet er det lettest å velge det siste:

$$\begin{array}{llll}\hfill O^{\prime }(x)& =I^{\prime }(x)-K^{\prime }(x)& \hfill & \\ \hfill & =10x-150-(30x-1180)& \hfill & \\ \hfill & =-20x+1030& \hfill & \end{array}$$

2.

Du finner det største overskuddet ved å sette $O^{\prime }(x)=0$ og sette verdien for $x$ inn i overskuddsfunksjonen $O(x)$: $$\begin{array}{llllll}\hfill O^{\prime }(x)& =0& \hfill & & \hfill & \\ \hfill -20x+1030& =0& \hfill & & \hfill & \\ \hfill -20x& =-1030& \hfill & |:-20& \hfill & & \hfill & \\ \hfill x& =51,5& \hfill & & \hfill & \end{array}$$

For å finne ut om det er 51 eller 52 vesker som må selges setter du disse verdiene inn i overskuddsfunksjonen og velger den $x$-verdien som gir størst overskudd. Men først må du finne ut overskuddsfunksjonen:

$$\begin{array}{llll}\hfill O(x)& =I(x)-K(x)& \hfill & \\ \hfill & =5x^2-150x+25000& \hfill & \\ \hfill & -\left(15x^2-1180x+33200\right)& \hfill & \\ \hfill & =-10x^2+1030x-8200& \hfill & \end{array}$$

$$\begin{array}{llll}\hfill O(x)& =I(x)-K(x)& \hfill & \\ \hfill & =5x^2-150x+25000-\left(15x^2-1180x+33200\right)& \hfill & \\ \hfill & =-10x^2+1030x-8200& \hfill & \end{array}$$

Du setter nå inn 51 og 52:

$$\begin{array}{llll}\hfill O(51)& =-10{(51)}^2+1030(51)+8200& \hfill & \\ \hfill & =34720& \hfill & \\ \hfill O(52)& =-10{(52)}^2+1030(52)+8200& \hfill & \\ \hfill & =34720& \hfill & \end{array}$$

$$\begin{array}{llll}\hfill O(51)& =-10{(51)}^2+1030(51)+8200& \hfill & \\ \hfill & =34720& \hfill & \\ \hfill O(52)& =-10{(52)}^2+1030(52)+8200& \hfill & \\ \hfill & =34720& \hfill & \end{array}$$

Siden disse tallene er like, vil du velge det største $x$-verdien fordi det ser best ut i regnskapet.

For å svare på dette trenger du å finne ut om overskuddet vokser eller avtar. Dette finner du fra vekstfunksjonen $O^{\prime }(x)$. Du deriverer derfor $O(x)$ og finner at

Siden svaret er negativt forteller det at overskuddet vil avta med 10 dersom du øker produksjonen med én enhet. Å tape penger er kjedelig, derfor ønsker du ikke å øke produksjonen.