Potensregler

Under kommer potensreglene. Disse må du lære deg. Videre i dette oppslaget skal vi se nærmere på reglene og hvordan de brukes.

Regel

Potensreglene

\begin{array}{l} a^{n} \cdot a^{m} & = a^{n + m} & \frac{a^{n}}{a^{m}} & = a^{n - m} \\ {(a^{b})}^{c} & = a^{b \cdot c} & {(a \cdot b)}^{n} & = a^{n} \cdot b^{n} \\ {(\frac{a}{b})}^{n} & = \frac{a^{n}}{b^{n}} & \sqrt{a} & = a^{\frac{1}{2}} \\ a^{- n} & = \frac{1}{a^{n}} & a^{0} & = 1 \end{array}

Husk at bokstaven $a$ kan være et hvilket som helst tall eller bokstav. Reglene gjelder både tallregning og bokstavregning.

Nå skal du se eksempler der vi bruker de ulike potensreglene.

Regel 1

Nå skal du se hvordan du bruker Regel 1.

Regel

a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}

Eksempel 1

La oss se på hvorfor den regelen stemmer:

\begin{array}{l} 3^{4} \cdot 3^{3} & = (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3) \\ = 3^{4 + 3} \\ = 3^{7} \end{array}

slik at

3^{4} \cdot 3^{3} = 3^{4 + 3} = 3^{7} .

Regel 2

Nå skal du se hvordan du bruker Regel 2.

Regel

{(a^{b})}^{c} = a^{b \cdot c}

Eksempel 2

La oss se på hvorfor den regelen stemmer:

\begin{array}{l} {(4^{2})}^{4} & = (4^{2}) \cdot (4^{2}) \cdot (4^{2}) \cdot (4^{2}) \\ = (4 \cdot 4) \cdot (4 \cdot 4) \cdot (4 \cdot 4) \cdot (4 \cdot 4) \\ = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \\ = 4^{8} \end{array}

slik at

{(4^{2})}^{4} = 4^{2 \cdot 4} = 4^{8} .

Regel 3

Nå skal du se hvordan du bruker Regel 3.

Regel

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

Eksempel 3

La oss se på hvorfor den regelen stemmer:

\begin{array}{l} {(\frac{2}{3})}^{3} & = (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3}) \\ = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3} \\ = \frac{2^{3}}{3^{3}} \\ = \frac{8}{27} \end{array}

slik at

{(\frac{2}{3})}^{3} = \frac{2^{3}}{3^{3}} = \frac{8}{27} .

Regel 4

Nå skal du se hvordan du bruker Regel 4.

Regel

\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n - m}

Eksempel 4

La oss se på hvorfor den regelen stemmer:

\begin{array}{l} \frac{3^{4}}{3^{2}} & = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3} \\ = 3^{2} \end{array}

slik at

\frac{3^{4}}{3^{2}} = 3^{4 - 2} = 3^{2} .

Regel 5

Nå skal du se hvordan du bruker Regel 5.

Regel

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

Eksempel 5

La oss se på hvorfor den regelen stemmer:

\begin{array}{l} 7^{- 2} & = 7^{0 - 2} \\ = \frac{7^{0}}{7^{2}} \\ = \frac{1}{7^{2}} \end{array}

slik at

7^{- 2} = \frac{1}{7^{2}} .

Regel 6

Nå skal du se hvordan du bruker Regel 6.

Regel

{(a \cdot b)}^{n} = a^{n} \cdot b^{n}

Eksempel 6

La oss se på hvorfor den regelen stemmer:

\begin{array}{l} {(5 \cdot 2)}^{4} & = (5 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 2) \\ = (5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \\ = 5^{4} \cdot 2^{4} \end{array}

slik at

{(5 \cdot 2)}^{4} = 5^{4} \cdot 2^{4} .

Regel 7

Nå skal du se hvordan du bruker Regel 7.

Regel

\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}

Eksempel 7

La oss se på hvorfor den regelen stemmer.

Her må vi gå grundigere til verks. Vi vet at ${\sqrt{3}}^{2} = 3$ . Med dette som utgangspunkt får vi

\begin{array}{l} {\sqrt{3}}^{2} & = 3 \\ {({\sqrt{3}}^{2})}^{\frac{1}{2}} & = 3^{\frac{1}{2}} \\ {(\sqrt{3})}^{2 \cdot \frac{1}{2}} & = 3^{\frac{1}{2}} \\ {(\sqrt{3})}^{\frac{2}{2}} & = 3^{\frac{1}{2}} \\ {(\sqrt{3})}^{1} & = 3^{\frac{1}{2}} \\ \sqrt{3} & = 3^{\frac{1}{2}} \end{array}

Regel 8

Nå skal du se hvordan du bruker Regel 8.

Regel

a^{0} = 1

Eksempel 8

La oss se på hvorfor den regelen stemmer.

Her bruker vi et triks. Nemlig at $0 = 1 - 1$ . Det kan virke litt rart, men så lenge det stemmer, hvilket det gjør, så kan vi bruke det for å hjelpe oss videre.

\begin{array}{l} 6 5^{0} & = 6 5^{1 - 1} \\ = \frac{6 5^{1}}{6 5^{1}} \\ = \frac{65}{65} \\ = 1 \end{array}

slik at

6 5^{0} = 1 .

Sammensatte eksempler

Nå skal du se på noen eksempler som krever at du bruker flere av reglene samtidig.

Eksempel 9

Forenkl ${(2 a)}^{3} \cdot {(a \cdot b)}^{2}$ så mye som mulig

\begin{array}{l} {(2 a)}^{3} \cdot {(a \cdot b)}^{2} & = 2^{3} \cdot a^{3} \cdot a^{2} \cdot b^{2} \\ = 8 \cdot a^{3} \cdot a^{2} \cdot b^{2} \\ = 8 \cdot a^{3 + 2} \cdot b^{2} \\ = 8 a^{5} b^{2} \end{array}

Eksempel 10

Forenkl $\frac{a^{4} \cdot {(a^{2} \cdot b)}^{5}}{{(a \cdot b)}^{3}}$ så mye som mulig

\begin{array}{l} \frac{a^{4} \cdot {(a^{2} \cdot b)}^{5}}{{(a \cdot b)}^{3}} & = \frac{a^{4} \cdot {(a^{2})}^{5} \cdot b^{5}}{a^{3} \cdot b^{3}} \\ = \frac{a^{4} \cdot a^{10} \cdot b^{5}}{a^{3} \cdot b^{3}} \\ = \frac{a^{14} \cdot b^{5}}{a^{3} \cdot b^{3}} \\ = a^{14 - 3} \cdot b^{5 - 3} \\ = a^{11} \cdot b^{2} \end{array}