>Likninger>Hvordan løse andregradslikninger med komplekse tall

Hvordan løse andregradslikninger med komplekse tall

Når du løser andregradslikninger ved $a b c$ -formelen kan det hende at du får negativ verdi under rottegnet. Da har ikke likningen reelle løsninger. Etter å ha innført komplekse tall, kan du finne løsninger av alle andregradsligninger. Dette er fordi den imaginære enheten $i$ kan brukes til å trekke kvadratrøtter av negative tall.

Regel

Komplekse andregradslikninger

La $a, b, c \in ℂ$ være komplekse tall med $a \neq 0$ . Da har likningen $a z^{2} + b z + c = 0$ løsingene

z = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .

Om uttrykket $b^{2} - 4 a c$ er negativt må du bruke den imaginære enheten $i$ til å finne løsningene.

Eksempel 1

Løs likningen $z^{2} - 4 z + 5 = 0$ for $z$

For denne likningen er koeffisientene $a = 1$ , $b = - 4$ , $c = 5$ . Du kan da bruke $a b c$ -formelen for å finne løsningene:

\begin{array}{l} z & = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ = \frac{- (- 4) \pm \sqrt{{(4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} \\ = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2} . \end{array}

Du har nå negativt verdi under rottegnet, så likningen har ingen reelle løsninger. Ved å bruke den imaginære enheten kan du trekke kvadratroten av $- 4$ :

\begin{array}{l} \sqrt{- 4} & = \sqrt{(4) (- 1)} \\ = \sqrt{4} \sqrt{- 1} \\ = 2 i . \end{array}

\sqrt{- 4} = \sqrt{(4) (- 1)} = \sqrt{4} \sqrt{- 1} = 2 i .

Løsningene på likningen er derfor:

\begin{matrix} z = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2} = \frac{4 \pm 2 i}{2} = 2 \pm i . \\ ⇓ \\ z_{1} = 2 + i og z_{2} = 2 - i . \end{matrix}

NB! I Eksempel 1 brukte du sammenhengen

\sqrt{- 4} = \sqrt{(4) (- 1)} = \sqrt{4} \sqrt{- 1} = 2 i .

Denne sammenhengen gjelder ikke generelt for komplekse tall. Om denne regelen skulle være gjeldene for komplekse tall, ville du fort fått inkonsistente resultater. For eksempel er følgende regnestykke ikke riktig:

\begin{array}{l} - 1 & = i \cdot i \\ = \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{- 1} \\ = \sqrt{- 1 \cdot - 1} \\ = \sqrt{1} \\ = 1 . \end{array}

- 1 = i \cdot i = \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{- 1} = \sqrt{- 1 \cdot - 1} = \sqrt{1} = 1 .

Feilen i dette regnestykket er at

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{- 1} \neq \sqrt{- 1 \cdot - 1}

. Regelen

\sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}

gjelder bare når både

a

b

er positive tall.

Ved å bruke $a b c$ -formelen kan du også løse andregradslikninger med komplekse koeffisienter. Da må du bruke kunnskap om røtter av komplekse tall til å forenkle uttrykket under rottegnet.

Eksempel 2

Løs likningen $\frac{1}{2} z^{2} + i z + \frac{\sqrt{3}}{2} i = 0$ for $z$

For denne likningen er koeffisientene $a = \frac{1}{2}$ , $b = i$ , $c = \frac{\sqrt{3}}{2} i$ . Du kan da bruke $a b c$ -formelen på vanlig måte, selv om koeffisientene er komplekse:

\begin{array}{l} z & = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ = \frac{- i \pm \sqrt{i^{2} - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} i}{2 \cdot \frac{1}{2}} \\ = - i \pm \sqrt{- 1 - \sqrt{3} i} . \end{array}

Alle komplekse tall har to komplekse kvadratrøtter. Her trenger du kun å bry deg om den kvadratroten som har argument i intervallet $[0, π ⟩$ . Dette er fordi $\pm \sqrt{w}$ plukker opp begge kvadratrøttene til $w$ . For å trekke kvadratroten av det komplekse tallet $w = - 1 - \sqrt{3} i$ må du først skrive $w$ på polarform. Normen til $w$ er her $r = 2$ . Argumentet til $w$ er $𝜃 = \frac{4 π}{3}$ . På polarform er derfor $w = 2 e^{i \frac{4 π}{3}}$ . Kvadratroten av $w$ finner du ved å ta kvadratroten av normen til $w$ og halvere argumentet til $w$ . Kvadratroten til $w$ er derfor $\sqrt{2} e^{i \frac{2 π}{3}}$ . På kartesisk form er denne kvadratroten gitt ved $- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} i$ . Løsningene på likningen blir derfor

\begin{matrix} z = - i \pm (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} i) \\ ⇓ \\ z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + (\frac{\sqrt{6}}{2} - 1) i \end{matrix}

\begin{matrix} z_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + (- \frac{\sqrt{6}}{2} - 1) i . \end{matrix}

\begin{matrix} z = - i \pm (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} i) \\ ⇓ \\ z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + (\frac{\sqrt{6}}{2} - 1) i og z_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + (- \frac{\sqrt{6}}{2} - 1) i . \end{matrix}

Forrige oppslag

Hvordan løse lineære likninger med komplekse tall

Neste oppslag

Hvordan faktorisere komplekse polynomer

Tilbake