>Лінійні нерівності>Як розв'язувати лінійні нерівності

Як розв'язувати лінійні нерівності

Лiнiйнi нерiвностi майже iдентичнi лiнiйним рiвнянням. У вiдповiдi замiсть числа нерiвнiсть має iнтервал. Розв’язавши нерiвнiсть, потрiбно знайти значення, вiдносно якого $x$ бiльше, бiльше або дорiвнює, менше чи менше або дорiвнює.

Правило

Знаки нерiвностi

$>$ означає «бiльше нiж»

$\geq$ означає «бiльше або дорiвнює»

$<$ означає «менше нiж»

$\leq$ означає «менше або дорiвнює»

Приклад 1

Розв’яжи нерiвнiсть $x + 3 < 8$

\begin{array}{l} x + 3 & < 8 \\ x & < 8 - 3 \\ x & < 5 \end{array}

Вiдповiдь свiдчить, що

x

має бути меншим нiж 5, щоб нерiвнiсть залишалася дiйсною.

Iснує одна важлива вiдмiннiсть мiж розв’язуванням лiнiйних нерiвностей i лiнiйних рiвнянь: коли ми множимо або дiлимо на вiд’ємне число, то маємо перевернути нерiвнiсть! Чому? Поглянь на наступний приклад:

Приклад 2

Можна погодитися, що

5 > - 10,

оскiльки $- 10$ розташоване далi лiворуч на реальнiй прямiй, нiж 5. Якщо помножити обидвi частини на $- 1$ , отримаємо:

\begin{array}{l} 5 & > - 10 \\ (- 1) \cdot 5 & > - 10 \cdot (- 1) \\ - 5 & > 10 \end{array}

Отримуємо $- 5$ бiльше нiж 10. Це не має сенсу! 10 розташоване далi праворуч на числовiй прямiй, нiж $- 5$ , а отже, є бiльшим числом.

Через цю проблему зi знаком знак нерiвностi потрiбно перевернути, щоб вираз залишався дiйсним.

Правило

Множення або дiлення на вiд’ємнi числа

Якщо ми множимо або дiлимо на вiд’ємне число, то маємо ПЕРЕВЕРНУТИ нерiвнiсть.

Приклад 3

Розв’яжи нерiвнiсть $- x - 12 < 14$

\begin{array}{l} - x - 12 & < 14 \\ - x & < 14 + 12 \\ (- 1) \cdot - x & > 26 \cdot (- 1) \\ x & > - 26 \end{array}

Вiдповiдь свiдчить, що

x

має бути бiльшим нiж

- 26

, щоб нерiвнiсть залишалася дiйсною.

Приклад 4

Розв’яжи нерiвнiсть $2 (x + 2) - 3 x > - (- x - 3) + 4$

\begin{array}{l} 2 (x + 2) - 3 x & > - (- x - 3) + 4 \\ 2 x + 4 - 3 x & > x + 3 + 4 \\ 2 x - 3 x - x & > 3 + 4 - 4 \\ - 2 x & > 3 \\ \frac{-2 x}{-2} & < \frac{3}{- 2} \\ x & < - \frac{3}{2} \end{array}

Вiдповiдь свiдчить, що

x

має бути меншим нiж

- \frac{3}{2}

, щоб нерiвнiсть залишалася дiйсною.

Приклад 5

Розв’яжи нерiвнiсть $2 x - 3 (2 x - 5) \geq 2 (3 x - 2) + 5 x$

\begin{matrix} 2 x - 3 (2 x - 5) \geq 2 (3 x - 2) + 5 x \\ 2 x - 6 x + 15 \geq 6 x - 4 + 5 x \\ 2 x - 6 x - 6 x - 5 x \geq - 4 - 15 \\ - 15 x \geq - 19 \\ \frac{-15 x}{-15} \geq \frac{- 19}{- 15} \\ x \leq \frac{19}{15} \end{matrix}

\begin{array}{l} 2 x - 3 (2 x - 5) & \geq 2 (3 x - 2) + 5 x \\ 2 x - 6 x + 15 & \geq 6 x - 4 + 5 x \\ 2 x - 6 x - 6 x - 5 x & \geq - 4 - 15 \\ - 15 x & \geq - 19 \\ \frac{-15 x}{-15} & \geq \frac{- 19}{- 15} \\ x & \leq \frac{19}{15} \end{array}

Вiдповiдь свiдчить, що

x

має бути меншим або дорiвнювати

\frac{19}{15}

, щоб нерiвнiсть залишалася дiйсною.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Повернутися