Білий логотип House of Math на різнобарвному квадраті
УвійтиЗареєструватися
Меню

Як знайти площу між двома графіками шляхом інтегрування

Коли ми шукаємо площу мiж двома графiками, потрiбно врахувати деякi аспекти, а саме:

1.
Положення площ у системi координат не має значення, тобто в цьому контекстi не важливо, чи лежать графiки вище чи нижче осi x.
2.
Щоб отримати у своїй вiдповiдi додатну площу, потрiбно завжди брати верхнiй графiк мiнус нижнiй.
3.
Як зазначено в Пункт 2, потрiбно обчислити iнтеграл для кожної площi.

Тодi, якщо припустити, що графiк f лежить вище графiка g мiж x = a i x = b, площа мiж графiками визначається так:

Формула

Площа мiж двома графiками

A = ∫ abf(x)dx −∫ abg(x)dx = ∫ ab (f(x) − g(x)) dx

Зверни увагу! Верхнi графiки завжди мають бути першими пiд час вiднiмання. У iншому випадку розрахунок дає вiд’ємний знак. Якщо це не врахувати, можна отримати неправильну вiдповiдь.

Уважно розглянь наступнi два приклади i прочитай декiлька разiв, доки не зрозумiєш їх.

Приклад 1

Знайди площу, обмежену функцiями

f(x) = x3 + 3x2 − 13x − 15 g(x) = 10x + 7

Спочатку будуємо графiки так, щоб можна було побачити обмеженi площi. У цьому випадку маємо двi площi.

Приклад площi мiж двома графiками 1

У Площi 1 вище знаходиться g(x), а в Площi 2 — f(x). Отже, потрiбно визначити, в якiй точцi графiки перетинаються, тобто в якiй точцi f(x) = g(x):

x3 + 3x2 − 13x − 15 = 10x + 7.

Розв’язуємо це рiвняння i отримуємо x ≈−6.16, x ≈−0.88 i x ≈ 4.04. Це означає, що A = −6.16, B = −0.88 i C = 4.04, де g(x) лежить вище f(x) мiж − 6.16 i − 0.88, а f(x) лежить вище g(x) мiж − 0.88 i 4.04. Отже, загальна площа становить:

A = A1 + A2.

Спочатку знаходимо A1:

A1 = ∫ −6.16−0.88x3 + 3x2 − 13x − 15 − (10x + 7)dx = ∫ −6.16−0.88x3 + 3x2 − 23x − 22dx = (1 4x4 + x3 −23 2 x2 − 22x)| −6.16−0.88 = (1 4(−0.88)4 + (−0.88)3 −23 2 (−0.88)2 − 22(−0.88)) −(1 4(−6.16)4 + (−6.16)3 −23 2 (−6.16)2 − 22(−6.16)) ≈ 9.92 − (−174.63) = 184.55

A1 = ∫ −6.16−0.88x3 + 3x2 − 13x − 15 − (10x + 7)dx = ∫ −6.16−0.88x3 + 3x2 − 23x − 22dx = (1 4x4 + x3 −23 2 x2 − 22x)| −6.16−0.88 = (1 4(−0.88)4 + (−0.88)3 −23 2 (−0.88)2 − 22(−0.88)) −(1 4(−6.16)4 + (−6.16)3 −23 2 (−6.16)2 − 22(−6.16)) ≈ 9.92 − (−174.63) = 184.55

Потiм знаходимо A2:

A2 = ∫ −0.884.0410x + 7 −(x3 + 3x2 − 13x − 15) dx = ∫ −0.884.04 − x3 − 3x2 + 23x + 22dx = (−1 4x4 − x3 + 23 2 x2 + 22x)| −0.884.04 = ( −1 4(4.04)4 − (4.04)3 + 23 2 (4.04)2 + 22(4.04)) −(−1 4(−0.88)4 − (−0.88)3 + 23 2 (−0.88)2 + 22(−0.88)) ≈ 144.04 − (−9.92) = 153.96

A2 = ∫ −0.884.0410x + 7 −(x3 + 3x2 − 13x − 15) dx = ∫ −0.884.04 − x3 − 3x2 + 23x + 22dx = (−1 4x4 − x3 + 23 2 x2 + 22x)| −0.884.04 = (−1 4(4.04)4 − (4.04)3 + 23 2 (4.04)2 + 22(4.04)) −(−1 4(−0.88)4 − (−0.88)3 + 23 2 (−0.88)2 + 22(−0.88)) ≈ 144.04 − (−9.92) = 153.96

Нарештi, загальна площа становить

A = A1 + A2 ≈ 184.55 + 153.96 = 338.5.

Приклад 2

Знайди площу, обмежену функцiями

f(x) = 1 2x2 −5 2x g(x) = −5cos (3 2x −3 5)

для x ∈[− 1.23,6.18]

Спочатку будуємо графiки так, щоб можна було побачити обмеженi площi. У цьому випадку маємо три площi.

Приклад площi мiж двома графiками 2

У Площi 1 вище лежить f(x), у Площi 2 — g(x), а у Площi 3 — знову f(x). Отже, потрiбно знайти точку, в якiй графiки перетинаються, тобто в якiй точцi f(x) = g(x):

1 2x2 −5 2x = −5 cos ⁡ (3 2x −3 5) .

Розв’язуємо це рiвняння i отримуємо x ≈−1.23, x ≈ 1.14, x ≈ 3.85 i x ≈ 6.18. Отримуємо ще двi точки перетину, але вони лежать за межами потрiбного iнтервалу. Це означає, що A = −1.23, B = 1.14, C = 3.85 i D = 6.18, де f(x) лежить мiж − 1.23 i 1.14 i вiд 3.85 до 6.18. Функцiя g(x) лежить мiж 1.14 i 3.85. Отже, загальна площа становить:

A = A1 + A2 + A3.

Спочатку знаходимо площу A1:

A1 = ∫ −1.231.141 2x2 −5 2x −(−5 cos ⁡ (3 2x −3 5)) dx = ∫ −1.231.141 2x2 −5 2x + 5 cos ⁡ (3 2x −3 5) dx = (1 6x3 −5 4x2 + 5 sin ⁡ (3 2x −3 5) ⋅2 3)|−1.231.14 = (1 6x3 −5 4x2 + 10 3 sin ⁡ (3 2x −3 5)) |−1.231.14 = (1 6(1.14)3 −5 4(1.14)2 + 10 3 sin ⁡ (3 2(1.14) −3 5) ) −(1 6(−1.23)3 −5 4(−1.23)2 + 10 3 sin ⁡ (3 2(−1.23) −3 5) ) ≈ 1.61 − (−4.34) = 5.95

A1 = ∫ −1.231.141 2x2 −5 2x −(−5 cos ⁡ (3 2x −3 5)) dx = ∫ −1.231.141 2x2 −5 2x + 5 cos ⁡ (3 2x −3 5) dx = (1 6x3 −5 4x2 + 5 sin ⁡ (3 2x −3 5) ⋅2 3) |−1.231.14 = (1 6x3 −5 4x2 + 10 3 sin ⁡ (3 2x −3 5)) |−1.231.14 = (1 6(1.14)3 −5 4(1.14)2 + 10 3 sin ⁡ (3 2(1.14) −3 5)) −(1 6(−1.23)3 −5 4(−1.23)2 + 10 3 sin ⁡ (3 2(−1.23) −3 5)) ≈ 1.61 − (−4.34) = 5.95

Потiм знаходимо площу A2:

A2 = ∫ 1.143.85 − 5 cos ⁡ (3 2x −3 5) −(1 2x2 −5 2x)dx = ∫ 1.143.85 − 5 cos ⁡ (3 2x −3 5) −1 2x2 + 5 2xdx = ( − 5 sin ⁡ (3 2x −3 5) ⋅2 3 −1 6x3 + 5 4x2)| 1.143.85 = ( −10 3 cos ⁡ (3 2x −3 5) −1 6x3 + 5 4x2)| 1.143.85 = ( −10 3 cos ⁡ (3 2(3.85) −3 5) −1 6(3.85)3 + 5 4(3.85)2) −(−10 3 cos ⁡ (3 2(1.14) −3 5) −1 6(1.14)3 + 5 4(1.14)2) ≈ 12 − (−1.61) = 13.61

A2 = ∫ 1.143.85 − 5 cos ⁡ (3 2x −3 5) −(1 2x2 −5 2x)dx = ∫ 1.143.85 − 5 cos ⁡ (3 2x −3 5) −1 2x2 + 5 2xdx = (−5 sin ⁡ (3 2x −3 5) ⋅2 3 −1 6x3 + 5 4x2) | 1.143.85 = (−10 3 cos ⁡ (3 2x −3 5) −1 6x3 + 5 4x2) | 1.143.85 = (−10 3 cos ⁡ (3 2(3.85) −3 5) −1 6(3.85)3 + 5 4(3.85)2) −(−10 3 cos ⁡ (3 2(1.14) −3 5) −1 6(1.14)3 + 5 4(1.14)2) ≈ 12 − (−1.61) = 13.61

Потiм знаходимо площу A3:

A3 = ∫ 3.856.181 2x2 −5 2x −(−5 cos ⁡ (3 2x −3 5)) dx = ∫ 3.856.181 2x2 −5 2x + 5 cos ⁡ (3 2x −3 5) dx = (1 6x3 −5 4x2 + 5 sin ⁡ (3 2x −3 5) ⋅2 3)|3.856.18 = (1 6x3 −5 4x2 + 10 3 sin ⁡ (3 2x −3 5)) |3.856.18 = (1 6(6.18)3 −5 4(6.18)2 + 10 3 sin ⁡ (3 2(6.18) −3 5) ) −(1 6(3.85)3 −5 4(3.85)2 + 10 3 sin ⁡ (3 2(3.85) −3 5) ) ≈−6.12 − (−12) = 5.88

A3 = ∫ 3.856.181 2x2 −5 2x −(−5 cos ⁡ (3 2x −3 5)) dx = ∫ 3.856.181 2x2 −5 2x + 5 cos ⁡ (3 2x −3 5) dx = (1 6x3 −5 4x2 + 5 sin ⁡ (3 2x −3 5) ⋅2 3) |3.856.18 = (1 6x3 −5 4x2 + 10 3 sin ⁡ (3 2x −3 5)) |3.856.18 = (1 6(6.18)3 −5 4(6.18)2 + 10 3 sin ⁡ (3 2(6.18) −3 5)) −(1 6(3.85)3 −5 4(3.85)2 + 10 3 sin ⁡ (3 2(3.85) −3 5)) ≈−6.12 − (−12) = 5.88

Нарештi, загальна площа становить

A = A1 + A2 + A3 ≈ 5.95 + 13.61 + 5.88 = 25.44.

A = A1 + A2 + A3 ≈ 5.95 + 13.61 + 5.88 = 25.44.

Біла стрілка, що вказує ліворучПопередня стаття
Як використовувати метод розкладання на прості дроби для інтегрування
Наступна стаття Біла стрілка, що вказує праворуч
Як використовувати тіла обертання для знаходження об’ємів
Повернутися