Білий логотип House of Math на різнобарвному квадраті
УвійтиЗареєструватися
Меню

Які основні співвідношення в інтегруванні потрібно знати?

Коли ми говоримо, що iнтегрування — це те саме, що «зворотне диференцiювання», маємо на увазi, що ∫ ⁡ f(x)dx потрiбно продиференцiювати, щоб отримати f(x). Отже, iнтегрування можна iнакше назвати антидиференцiюванням.

Попри те, що спочатку iнтегрування може здатися незрозумiлим, суми та рiзницi функцiй, а також добутки та частки з функцiями та числами вiдповiдають простим правилам. Цi правила демонструють, як виконувати iнтегрування в таких випадках:

Правило

Кориснi правила iнтегрування

∫ u(x) + v(x)dx = ∫ u(x)dx + ∫ v(x)dx ∫ u(x) − v(x)dx = ∫ u(x)dx −∫ v(x)dx ∫ ku(x)dx = k∫ u(x)dx ∫ u(x) k dx = 1 k∫ u(x)dx

Приклад 1

Розв’яжи iнтеграл ∫ ⁡ 2 cos ⁡ (2x) + 1 xdx

= ∫ 2 cos ⁡ (2x) + 1 xdx = 2 ⋅1 2 sin ⁡ (2x) + ln ⁡ |x| + C = sin ⁡ (2x) + ln ⁡ |x| + C

∫ 2 cos ⁡ (2x) + 1 xdx = 2 ⋅1 2 sin ⁡ (2x) + ln ⁡ |x| + C = sin ⁡ (2x) + ln ⁡ |x| + C

Приклад 2

Розв’яжи iнтеграл ∫ ⁡e3x − sin ⁡ (πx) + πdx

= ∫ e3x − sin ⁡ (πx) + πdx = 1 3e3x + 1 π cos ⁡ (πx) + πx + C

∫ e3x − sin ⁡ (πx) + πdx = 1 3e3x + 1 π cos ⁡ (πx) + πx + C

Приклад 3

Розв’яжи iнтеграл ∫ ⁡ 3x4 + 3 tan ⁡ (4x)dx

= ∫ 3x4 + 3 tan ⁡ (4x)dx = 31 5x5 − 3 ⋅1 4 ln ⁡ |cos ⁡ (4x)| + C = 3 5x5 −3 4 ln ⁡ |cos ⁡ (4x)| + C

∫ 3x4 + 3 tan ⁡ (4x)dx = 31 5x5 − 3 ⋅1 4 ln ⁡ |cos ⁡ (4x)| + C = 3 5x5 −3 4 ln ⁡ |cos ⁡ (4x)| + C

Приклад 4

Розв’яжи iнтеграл ∫ ⁡ 2x − 5 3x + 4dx

∫ 2x − 5 3x + 4dx = 2x ln ⁡ 2 − 5 ⋅1 3 ln ⁡ |3x + 4| + C = 2x ln ⁡ 2 −5 3 ln ⁡ |3x + 4| + C

Біла стрілка, що вказує ліворучПопередня стаття
Які є важливі правила інтегрування?
Наступна стаття Біла стрілка, що вказує праворуч
Як інтерпретувати й обчислювати визначений інтеграл
Повернутися