Brøkregelen for derivasjon

Brøkregelen er den derivasjonsregelen du bruker når du har brøkfunksjoner.

Formel

Brøkregelen

{(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}

der $u = u (x)$ og $v = v (x)$ . NB! Noen ganger kan du være heldig ved at du kan forkorte det forenklede uttrykket, men ofte er ikke dette mulig, og da lar du nevneren stå (uten å regne ut parentesen).

Eksempel 1

Deriver uttrykket $\frac{2 x + 1}{e^{x}}$

Her kaller du $u = 2 x + 1$ og $v = e^{x}$ . Da får du at $u^{'} = 2$ og at $v^{'} = e^{x}$ . Regningen blir som følger

\begin{array}{l} {(\frac{2 x + 1}{e^{x}})}^{'} & = \frac{{(2 x + 1)}^{'} \cdot e^{x} - (2 x + 1) \cdot {(e^{x})}^{'}}{{(e^{x})}^{2}} \\ = \frac{2 \cdot e^{x} - (2 x + 1) \cdot e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} \\ = \frac{2 e^{x} - 2 x e^{x} - e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} \\ = \frac{e^{x} - 2 x e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} \\ = \frac{e^{x} (1 - 2 x)}{{(e^{x})}^{2}} \\ = \frac{1 - 2 x}{e^{x}} \end{array}

Eksempel 2

Deriver uttrykket $\frac{3 x^{3} - 2 x^{2} + 7}{x - 1}$

Her kaller du $u = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 7$ og $v = x - 1$ . Da får du at $u^{'} = 9 x^{2} - 2$ og at $v^{'} = 1$ . Regningen blir som følger

\begin{array}{l} {(\frac{3 x^{3} - 2 x^{2} + 7}{x - 1})}^{'} \\ = \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} ({(3 x^{3} - 2 x^{2} + 7)}^{'} \cdot (x - 1) \\ - (3 x^{3} - 2 x^{2} + 7) {(x - 1)}^{'}) \\ = \frac{(9 x^{2} - 4 x) \cdot (x - 1) - (3 x^{3} - 2 x^{2} + 7) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}} \\ = \frac{9 x^{3} - 9 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x - 3 x^{3} + 2 x^{2} - 7}{{(x - 1)}^{2}} \\ = \frac{6 x^{3} - 11 x^{2} + 4 x - 7}{{(x - 1)}^{2}} \end{array}

\begin{array}{l} {(\frac{3 x^{3} - 2 x^{2} + 7}{x - 1})}^{'} & = \frac{{(3 x^{3} - 2 x^{2} + 7)}^{'} \cdot (x - 1) - (3 x^{3} - 2 x^{2} + 7) {(x - 1)}^{'}}{{(x - 1)}^{2}} \\ = \frac{(9 x^{2} - 4 x) \cdot (x - 1) - (3 x^{3} - 2 x^{2} + 7) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}} \\ = \frac{9 x^{3} - 9 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x - 3 x^{3} + 2 x^{2} - 7}{{(x - 1)}^{2}} \\ = \frac{6 x^{3} - 11 x^{2} + 4 x - 7}{{(x - 1)}^{2}} \end{array}

Ved å sette inn

x = 1

i polynomet i telleren, ser vi at

x = 1

ikke er et nullpunkt. Dermed kan ikke brøken forkortes, så da lar du derfor siste linje være svaret ditt.

Forrige oppslag

Produktregelen for derivasjon

Neste oppslag

Fortegnslinjer og den deriverte

Tilbake