Funksjonsdrøfting av polynomfunksjoner

Dermed er $x=-4$ eller $x=-2$. Nullpunktene til $f(x)$ er dermed når $x=-4$, $x=-2$ og $x=0$.

Nå finner du deriverte av $f(x)=x^3+6x^2+8x$:

Igjen bruker du $abc$-formelen for å finne ekstremalpunktene til $f(x)$:

Dermed er $x\approx -3,15$ eller $x\approx -0,85$.

For å finne punktene trenger du de tilhørende $y$-verdiene. Disse finner du ved å sette $x$-verdiene tilbake i hovedfunksjonen $f(x)$:

Du må nå bestemme hvilket punkt som er et toppunkt, og hvilket punkt som er et bunnpunkt. Det gjør du ved å tegne fortegnslinjer. Merk at den deriverte kan faktoriserer som

Du ser av fortegnslinjene at toppunktet er $(-3,15,3,08)$ og bunnpunktet er $(-0,85,-3,08)$.

Du finner først den andrederiverte til $f(x)$ ved å derivere $f^{\prime }(x)=3x^2+12x+8$:

Setter nå $f^{″}(x)=0$ og løser likningen:

Sett denne $x$-verdien inn i den opprinnelige funksjonen $f(x)$ for å finne koordinatene til vendepunktet:

Vendepunktet er dermed $(-2,0)$.

Ved å lage et fortegnskjema for den annenderiverte, kan du også se hvor grafen til $f(x)$ er konkav eller konveks. Merk at $f^{″}(x)$ kan faktorisere som $f^{″}(x)=6(x+2)$.