Vendepunkter

Et vendepunkt viser hvor en graf går fra å være konveks til konkav, eller omvendt. Du finner punktet ved å løse likningen $f^{″} (x) = 0$ .

Regel

Vendepunkter

Du finner vendepunktene til en funksjon ved å løse likningen

f^{″} (x) = 0

og bruke fortegnsskjema.

Fortegnslinjene til den dobbelderiverte $f^{″} (x)$ forteller hvor grafen til hovedfunksjonen $f (x)$ er konveks og konkav. Den forteller også hvor grafen har vendepunkter. Videre forteller fortegnslinjene til $f^{″} (x)$ hvor den dobbelderiverte funksjonen $f^{″} (x)$ ligger over eller under $x$ -aksen.

Eksempel 1

Finn vendepunktet til funksjonen

f (x) = 3 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + 3

Du vet at du trenger den andrederiverte $f^{″} (x)$ for å finne vendepunktet. Du deriverer derfor funksjonen $f (x)$ to ganger:

\begin{array}{l} f^{'} (x) & = 9 x^{2} + 4 x - 4 \\ f^{″} (x) & = 18 x + 4 \end{array}

Du løser nå likningen $f^{″} (x) = 0$ : $\begin{array}{l} 18 x + 4 & = 0 \\ 18 x & = - 4 | : 18 \\ x & = - \frac{4}{18} \\ x & = - \frac{2}{9} \end{array}$

Du finner så $y$ -verdien til vendepunktet ved å sette $x = - \frac{2}{9}$ inn i hovedfunksjonen $f (x) = 3 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + 3$ . Da får du

\begin{array}{l} f (- \frac{2}{9}) & = 3 {(- \frac{2}{9})}^{3} + 2 {(- \frac{2}{9})}^{2} - 4 (- \frac{2}{9}) + 3 \\ \approx 4 . \end{array}

Vendepunktet til $f (x)$ er dermed i punktet $(- \frac{2}{9}, 4)$ .

Forrige oppslag

Krumning

Neste oppslag

Funksjonsdrøfting av polynomfunksjoner

Tilbake