Reduksjon av orden

Dersom du har en differensiallikning som ikke har $y$ , men bare deriverte, kan du bruke substitusjon for å redusere ordenen. Du setter $u = y^{'}$ , som gir $u^{'} = y^{″}$ og $u^{″} = y^{‴}$ . Dermed har du en lavere ordens differensiallikning. Deretter er det bare å løse likningen ut ifra metodene du har sett i dette kapittelet.

Eksempel 1

Løs differensiallikningen $y^{‴} - 7 y^{″} + 12 = 0$

Sett $y^{'} = u$ og substituer:

u^{″} - 7 u^{'} + 12 = 0 .

Denne har karakteristisk likning

\begin{array}{l} r^{2} - 7 r + 12 & = 0, \\ (r - 4) (r - 3) & = 0, \end{array}

som har løsningene $r_{1} = 4$ og $r_{2} = 3$ . Sett $r_{1}$ og $r_{2}$ inn i løsningsformelen og få

u (x) = C_{1} e^{4 x} + C_{2} e^{3 x} .

Du må nå substituere tilbake $y^{'} = u$ : $\begin{array}{l} y^{'} & = C_{1} e^{4 x} + C_{2} e^{3 x} \\ y & = \int y^{'} d x \\ = \int C_{1} e^{4 x} + C_{2} e^{3 x} d x \\ = \frac{C_{1}}{4} e^{4 x} + \frac{C_{2}}{3} e^{3 x} + C_{3} \end{array}$

Forrige oppslag

Praktisk bruk Newtons andre lov (Frie svingninger med og uten demping)

Tilbake