Binomisk fordeling

1 av 5 sniker, slik at ikke billett er det du skal undersøke. Du får dermed at

Dette er derfor en binomisk fordeling med $n=20$ og $p=0,2$.

1.

Først vil du finne ut sannsynligheten for at nøyaktig én av de 20 ikke har billett. Da er $k=1$, og du setter inn i formelen og får $$\begin{array}{llll}\hfill P\left(X=1\right)& =\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{20}{1}\right)p^1{(1-p)}^{20-1}& \hfill & \\ \hfill & =20\cdot 0,2\cdot 0,8^{19}& \hfill & \\ \hfill & \approx 0,06.& \hfill & \end{array}$$

Altså er sannsynligheten for at nøyaktig én av de 20 ikke har billett omtrent $6$ %.

2.

Så vil du finne ut sannsynligheten for at nøyaktig fem av de 20 ikke har billett. Da er $k=5$, og du setter inn i formelen og får $$\begin{array}{llll}\hfill P\left(X=5\right)& =\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{20}{5}\right)p^5{(1-p)}^{20-5}& \hfill & \\ \hfill & =15504\cdot 0,2^5\cdot 0,8^{15}& \hfill & \\ \hfill & \approx 0,17& \hfill & \end{array}$$

Altså er sannsynligheten for at nøyaktig fem av de 20 ikke har billett omtrent $17$ %.

3.

Til slutt vil du regne ut sannsynligheten for at minst tre av de 20 ikke har billett. Det vil si at 3, 4, 5 og opp til 20 ikke har betalt. Siden dette er veldig mange utfall å regne sannsynligheten til kan det være lurt å vurdere komplementet. Det er det samme som å si at hendelsen «0, 1 eller 2 av de 20 ikke har billett» ikke inntreffer. Altså at

$$P\left(X\ge 3\right)=1-P\left(X=\text{0, 1 eller 2}\right)$$

For å regne ut $P\left(X=\text{0, 1 eller 2}\right)$ må du legge sammen $P\left(X=0\right),P\left(X=1\right)$ og $P\left(X=1\right)$, så først regner du ut disse med den samme formelen som du brukte i Punktene 2 og 3.

• $$

  P (X = 0) = (20 0 ) 0,20⋅ (1 − 0,2)20−0 = 0,820 ≈ 0,01
  P (X = 0) = (20 0 ) 0,20(1 − 0,2)20−0 = 0,820 ≈ 0,01

• $P\left(X=1\right)$ regnet du ut i Punkt 2, så $P\left(X=1\right)=0,06$.

• $$

  P (X = 2) = (20 2 ) 0,22⋅ (1 − 0,2)20−2 ≈ 0,14
  P (X = 2) = (20 2 ) 0,22(1 − 0,2)20−2 ≈ 0,14

Dermed ser du at

$$\begin{array}{llll}\hfill P\left(X=\text{0, 1 eller 2}\right)& =P\left(X=0\right)+P\left(X=1\right)& \hfill & \\ \hfill & +P\left(X=3\right)& \hfill & \\ \hfill & =0,21& \hfill & \end{array}$$

$$\begin{array}{llll}\hfill P\left(X=\text{0, 1 eller 2}\right)& =P\left(X=0\right)+P\left(X=1\right)+P\left(X=3\right)& \hfill & \\ \hfill & =0,21& \hfill & \end{array}$$

Da kan du endelig regne ut

$$\begin{array}{llll}\hfill P\left(X\ge 3\right)& =1-P\left(X=\text{0, 1 or 2}\right)& \hfill & \\ \hfill & =0,79,& \hfill & \end{array}$$

$$\begin{array}{lll}\hfill P\left(X\ge 3\right)=1-P\left(X=\text{0, 1 or 2}\right)=0,79,& & \hfill \end{array}$$

Altså er sannsynligheten for at minst tre av de 20 ikke har billett omtrent $79$ %.

Sannsynligheten for å gjette riktig på et spørsmål med fire alternativer er $\frac{1}{4}=0,25=25\text{\%}$.

1.

Siden det er 50 spørsmål i quizen er $n=50$. Jo må ha alt riktig slik at $k=50$. Dermed får du at

$$P\left(X=k\right)=\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{n}{k}\right)p^k{(1-p)}^{n-k}$$

blir som dette:

$$\begin{array}{llll}\hfill P\left(X=50\right)& =\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{50}{50}\right)\cdot 0,25^{50}\cdot {(1-0,25)}^{50-50}& \hfill & \\ \hfill & =1\cdot 0,25^{50}\cdot 0,75^0& \hfill & \\ \hfill & \approx 7,89\cdot 10^{-31}.& \hfill & \end{array}$$

Stakkars Jo kommer seg neppe til New York!

2.

Siden det er 50 spørsmål i quizen er $n=50$. Jo må ha 30 riktige spørsmål slik at $k=30$.

$$\begin{array}{llll}\hfill P\left(X=30\right)& =\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{50}{30}\right)\cdot 0,25^{30}& \hfill & \\ \hfill & \cdot {(1-0,25)}^{20}& \hfill & \\ \hfill & \approx 1,30\cdot 10^{-7},& \hfill & \end{array}$$

$$\begin{array}{llll}\hfill P\left(X=30\right)& =\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{50}{30}\right)\cdot 0,25^{30}\cdot {(1-0,25)}^{20}& \hfill & \\ \hfill & \approx 1,30\cdot 10^{-7},& \hfill & \end{array}$$

Dermed ser det også mørkt ut for Svalbardturen hans.

3.

Minst fem spørsmål betyr at 5, 6, 7, og opp til 50 spørsmål må besvares riktig. Du må derfor finne sannsynligheten for at $X\ge 5$. Dette er det samme som sannsynligheten for at $X$ ikke er 0, 1, 2, 3 eller 4. Du kan derfor bruke regelen for komplementære hendelser $P\left(A\right)=1-P\left(\stackrel{}{A}\right)$ og regne ut

$$\begin{array}{llll}\hfill P\left(X\ge 5\right)& =1-(P\left(X=0\right)+P\left(X=1\right)& \hfill & \\ \hfill & +P\left(X=2\right)& \hfill & \\ \hfill & +P\left(X=3\right)& \hfill & \\ \hfill & +P\left(X=4\right))& \hfill & \end{array}$$

$$\begin{array}{llll}\hfill P(X\ge 5)& =1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)& \hfill & \\ \hfill & +P(X=3)+P(X=4))& \hfill & \end{array}$$

Du må nå bruke binomialformelen og regne ut de ulike sannsynlighetene. Da får du dette:

$$\begin{array}{llll}\hfill P\left(X=0\right)& =\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{50}{0}\right)\cdot 0,25^0\cdot {(1-0,25)}^{50}& \hfill & \\ \hfill & \approx 5,66\cdot 10^{-7}& \hfill & \\ \hfill P\left(X=1\right)& =\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{50}{1}\right)\cdot 0,25^1\cdot {(1-0,25)}^{49}& \hfill & \\ \hfill & \approx 9,43\cdot 10^{-6}& \hfill & \\ \hfill P\left(X=2\right)& =\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{50}{2}\right)\cdot 0,25^2\cdot {(1-0,25)}^{48}& \hfill & \\ \hfill & \approx 7,7\cdot 10^{-5}& \hfill & \\ \hfill P\left(X=3\right)& =\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{50}{3}\right)\cdot 0,25^3\cdot {(1-0,25)}^{47}& \hfill & \\ \hfill & \approx 4,1\cdot 10^{-4}& \hfill & \\ \hfill P\left(X=4\right)& =\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{50}{4}\right)\cdot 0,25^4\cdot {(1-0,25)}^{46}& \hfill & \\ \hfill & \approx 1,60\cdot 10^{-3}& \hfill & \end{array}$$

Summen av disse sannsynlighetene er:

$$0,002.$$

Setter du dette inn i uttrykket over får du at

$$P\left(X\ge 5\right)\approx 1-0,002=0,998.$$

Heldigvis har Jo en tur til Norsk teknisk museum å se frem til!