Hvordan forenkle komplekse brøker

Her vil du lære om divisjon av komplekse tall både på kartesisk form og på polarform. Divisjon kan blant annet brukes til å finne inverse av komplekse tall.

Kartesisk form

På kartesisk form bygger divisjon av komplekse tall på multiplikasjon og konjugasjon. Om du har en brøk med komplekse tall i teller og nevner skal du skrive om brøken slik at du ikke har den imaginære enheten i nevner. Dette kan gjøres ved å utvide brøken med den konjugerte av nevneren for å få en nevner som kun består av reelle tall:

På samme måte som med addisjon, subtraksjon og multiplikasjon er mengden av komplekse tall $ℂ$ lukket under divisjon. Det betyr at du får ett nytt komplekst tall når du deler to komplekse tall på hverandre. Som med reelle tall er det ikke mulig å dele på $0$ og du må passe på å aldri ha $0$ i nevner av en brøk.

Polarform

Om du skriver komplekse tall ved å bruke den komplekse eksponentialfunksjonen, kan du dele komplekse tall ved å bruke vanlige regneregler for potensregning:

På polarform deler du komplekse tall ved å dele normene på hverandre og trekke argumentene fra hverandre. Dette kan visualiseres i det komplekse planet:

På samme måte som med multiplikasjon kan du tenke på divisjon som en skalering og rotering i det komplekse planet. I motsetning til multiplikasjon er rotasjonen i negativ omløpsretning. Dette er fordi divisjon med tallet $z$ er det samme som multiplikasjon med den inverse $z^{-1}$.

Inverse av komplekse tall

For alle komplekse tall $z\ne 0$ finnes det et inverst komplekst tall som betegnes $z^{-1}$. Det inverse tallet $z^{-1}$ har egenskapen $z\cdot z^{-1}=1$. Du finner $z^{-1}$ ved å løse opp brøken $\frac{1}{z}$:

Du kan regne ut den inverse til et komplekst tall $z$ ved å dele den konjugerte av $z$ på kvadratet av normen til $z$. Om du ikke husker denne formelen for den inverse kan du alltid finne den inverse ved å løse $z^{-1}=\frac{1}{z}$.