Lengden av en vektor

Vektoren a med sin x- og y-komponent.

Lengden av en vektor $\vec{a} = [x, y]$ skrives med absoluttverditegn, $| \vec{a} |$ , og kan beregnes med denne formelen (Pytagoras’ setning):

Formel

| \vec{a} | = | [x, y] | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

Eksempel 1

Finn lengden av vektoren $\vec{v} = [3, 4]$

$| \vec{v} | = | [3, 4] | = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Eksempel 2

For hvilke verdier av $t$ har vektoren $[t, t^{2}]$ lengde $\sqrt{2}$ ?

I dette tilfellet bruker du formelen som en likning og løser for $t$ . Da blir det som dette:

\begin{array}{l} \sqrt{2} & = \sqrt{{(t)}^{2} + {(t^{2})}^{2}} \\ = \sqrt{t^{2} (1 + t^{2})} \\ = t \sqrt{1 + t^{2}} . \end{array}

Du deler begge sider av likningen på $t$ og får

\begin{array}{l} \frac{\sqrt{2}}{t} & = \sqrt{1 + t^{2}} & Kvadrerer \\ \frac{2}{t^{2}} & = 1 + t^{2} & | \cdot t^{2} \\ 2 & = t^{2} + t^{4} & Flytter over \\ 0 & = t^{4} + t^{2} - 2 & Substituerer u = t^{2} \\ 0 & = u^{2} + u - 2 & Faktoriserer \\ 0 & = (u + 2) (u - 1) . \end{array}

\begin{array}{l} \frac{\sqrt{2}}{t} & = \sqrt{1 + t^{2}} & Kvadrerer \\ \frac{2}{t^{2}} & = 1 + t^{2} & | \cdot t^{2} \\ 2 & = t^{2} + t^{4} & Flytter over \\ 0 & = t^{4} + t^{2} - 2 & Substituerer u = t^{2} \\ 0 & = u^{2} + u - 2 & Faktoriserer \\ 0 & = (u + 2) (u - 1) . \end{array}

Du kan nå sette tilbake i substitusjonen. Da får du fra den første faktoren:

\begin{align} u + 2 & = 0 & (1) \\ t^{2} + 2 & = 0 \\ t^{2} & = - 2 . \end{align}

Fra den andre faktoren får du:

\begin{align} u - 1 & = 0 & (2) \\ t^{2} - 1 & = 0 \\ t^{2} & = 1 \\ t & = \pm 1 . \end{align}

Siden $t^{2} = - 2$ fra (1) ikke har noen løsning, er $t = \pm 1$ fra (2).