Linjer i rommet

Linje i rommet

Linjer i rommet kan uttrykkes ved hjelp av parameterfremstilling. Parametriseringen av en linje gjennom $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ med retningsvektor $\vec{v} = [a, b, c]$ er gitt ved:

Teori

Parameterfremstilling av en linje på koordinatform

x = x_{0} + a t \land y = y_{0} + b t \land z = z_{0} + c t

x = x_{0} + a t \land y = y_{0} + b t \land z = z_{0} + c t

Du kan også gjøre den om til en likning på vektorform slik som dette:

Teori

Parameterfremstilling av en linje på vektorform

\begin{array}{l} [x, y, z] & = [x_{0}, y_{0}, z_{0}] + t [a, b, c] \\ = [x_{0} + t a, y_{0} + t b, z_{0} + t c] \end{array}

Eksempel 1

Finn parameterfremstillingen for linjen gjennom punktet $P = (0, 0, 2)$ med retningsvektor $\vec{v} = [2, - 1, 1]$

Du skriver opp likningen på vektorform og får

\begin{array}{l} [x, y, z] & = \vec{O P} + t \vec{v} \\ = [0, 0, 2] + t [2, - 1, 1] \\ = [2 t, - t, 2 + t] . \end{array}

Da får du at koordinatformen blir

x = 2 t \land y = - t \land z = 2 + t .

Når du er i tre dimensjoner så må du ha to likninger for å beskrive en linje. Dette vil du skrive på formen

\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c} .

Dette er bare en annen måte å skrive opp de to likningene

\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b}

\frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c} .

Når du har parameterfremstillingen for en linje kan du finne disse likningene ved å løse formlene fra parameterfremstillingen for $t$ og sette formlene lik hverandre.

Eksempel 2

Finn likningen for linjen med parameterfremstilling

x = 2 t \land y = - t \land z = 2 + t

Du løser likningene for $t$ og får

\begin{array}{l} t & = \frac{x}{2}, \\ t & = - y = \frac{y}{- 1}, \\ t & = z - 2 = \frac{z - 2}{1} . \end{array}

Likningene for linjen blir da

\frac{x}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 2}{1}

Dersom enten $a$ , $b$ eller $c$ i parameterfremstillingen er 0 så kan vi ikke skrive likningene på denne måten. Da vil den ene formelen i parameterfremstillingen gi oss at en av variablene er en konstant. Vi skriver da dette opp som en egen likning og setter de andre formlene lik hverandre.

Eksempel 3

Finn likningen for linjen med parameterfremstilling

x = 3 \land y = 3 t - 4 \land z = 2 t + 1

Du kan ikke løse $x$ -likningen for $t$ så den lar du stå som den er. Du løser de andre for $t$ og får

\begin{array}{l} t & = \frac{y + 4}{3}, \\ t & = \frac{z - 1}{2} . \end{array}

Likningene for linjen blir da

x = 3 \land \frac{y + 4}{3} = \frac{z - 1}{2} .

Forrige oppslag

Hva er en parameterfremstilling?

Neste oppslag

Plan

Tilbake