Plan

Plan i rommet

Et plan kan uttrykkes ved hjelp av en parameterfremstilling eller ved hjelp av likningen for et plan. Planlikningen gjennom et punkt $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ med normalvektor $\vec{n} = [a, b, c]$ har formel:

Formel

Likningen for et plan

a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0

eller alternativt

\begin{array}{l} a x + b y + c z + d = 0, \\ d = - a x_{0} - b y_{0} - c z_{0} \end{array}

a x + b y + c z + d = 0, d = - a x_{0} - b y_{0} - c z_{0}

om du løser likningen over. Du ser at om du har fått likningen til et plan så kan du finne normalvektoren ved å se på tallene foran

x

y

z

Et plan kan parametriseres ved hjelp av to vektorer og et punkt. Gitt at

\vec{u} = [a_{1}, b_{1}, c_{1}]

\vec{v} = [a_{2}, b_{2}, c_{2}]

utspenner planet og

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

er et punkt i planet blir da parameterfremstillingen:

Teori

Parameterfremstilling til et plan

\begin{array}{l} x & = x_{0} + a_{1} s + a_{2} t \\ y & = y_{0} + b_{1} s + b_{2} t \\ z & = z_{0} + c_{1} s + c_{2} t \end{array}

Du kan finne både likningen og parameterfremstillingen til et plan dersom du har tre punkter i planet. Med tre punkter $A$ , $B$ og $C$ kan du finne $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ , som du kan bruke for å finne en parameterfremstilling for planet. Disse vektorene kan dessuten kryssmultipliseres for å finne en normalvektor for planet, som du kan bruke til å lage likningen for planet.

Regel

$x y$ -planet har likningen $z = 0$

$x z$ -planet har likningen $y = 0$

$y z$ -planet har liknignen $x = 0$

Eksempel 1

Hvis et plan har likning $2 x + y - 3 z + 8 = 0$ , kan du finne normalvektoren til planet ved å lese av tallene foran variablene: $\vec{n} = [2, 1, - 3]$ .

Eksempel 2

Du får vite at $A = (2, 0, 1)$ , $P = (3, 1, 2)$ og $C = (0, 0, 4)$ ligger i et plan $α$ , og du skal beskrive planet ved en likning og en parameterfremstilling

Du finner først vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ : $\begin{array}{l} \vec{A B} & = [3 - 2, 1 - 0, 2 - 1] = [1, 1, 1], \\ \vec{A C} & = [0 - 2, 0 - 0, 4 - 1] = [- 2, 0, 3] . \end{array}$

For å finne parameterfremstillingen bruker du punktet $A$ og vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ i formelen:

x = 2 + s - 2 t \land y = s \land z = 1 + s + 3 t

x = 2 + s - 2 t \land y = s \land z = 1 + s + 3 t

For å finne likningen for planet krysser du

\vec{A B}

\vec{A C}

for å finne normalvektoren

\vec{n}

\begin{array}{l} \vec{n} & = \vec{A B} \times \vec{A C} = [1, 1, 1] \times [- 2, 0, 3] \\ = [1 \cdot 3 - 1 \cdot 0, 1 \cdot (- 2) - 1 \cdot 3, \\ 1 \cdot 0 - 1 \cdot (- 2)] \\ = [3, - 5, 2] \end{array}

\begin{array}{l} \vec{n} = \vec{A B} \times \vec{A C} & = [1, 1, 1] \times [- 2, 0, 3] \\ = [1 \cdot 3 - 1 \cdot 0, 1 \cdot (- 2) - 1 \cdot 3, 1 \cdot 0 - 1 \cdot (- 2)] \\ = [3, - 5, 2] \end{array}

Du setter

\vec{n}

A

inn i formelen:

\begin{array}{l} 3 (x - 2) - 5 (y - 0) + 2 (z - 1) & = 0 \\ 3 x - 6 - 5 y + 2 z - 2 & = 0 \\ 3 x - 5 y + 2 z & = 8 . \end{array}

Eksempel 3

Et plan går gjennom punktet $P = (4, - 4, 4)$ og har normalvektor $\vec{n} = [6, 1, 1]$ . Hva er likningen og parameterfremstillingen for planet?

Her må du finne likningen for planet først. Likningen finner du ved å sette inn i formelen, siden du har alt du trenger:

\begin{array}{l} a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) & = 0 \\ 6 (x - 4) + 1 (- y - (- 4)) + 1 (z - 4) & = 0 \\ 6 x - 24 - y + 4 + z - 4 & = 0 \\ 6 x - y + z - 24 = 0 \end{array}

Nå som du har likningen til planet kan du finne to andre punkter i planet. Du gjør dette raskt ved å sette to av variablene til 0 og finne den siste. Først setter du $x = y = 0$ og finner $z$ : $\begin{array}{l} 6 \cdot 0 - 0 + z - 24 & = 0 \\ z & = 24 . \end{array}$

Det betyr at $A = (0, 0, 24)$ ligger i planet. Så gjør du det samme med $x = z = 0$ og finner $y$ : $\begin{array}{l} 6 \cdot 0 - y + 0 - 24 & = 0 \\ y & = - 24 . \end{array}$

Så $B = (0, - 24, 0)$ ligger også i planet. Nå har du tre punkter i planet, og kan lage to vektorer! Da får du at

\begin{array}{l} \vec{P A} & = [0 - 4, 0 - (- 4), 24 - 4] \\ = [- 4, 4, 20], \\ \vec{P B} & = [0 - 4, - 24 - (- 4), 0 - 4] \\ = [- 4, - 20, - 4] . \end{array}

\begin{array}{l} \vec{P A} & = [0 - 4, 0 - (- 4), 24 - 4] = [- 4, 4, 20], \\ \vec{P B} & = [0 - 4, - 24 - (- 4), 0 - 4] = [- 4, - 20, - 4] . \end{array}

For å finne parameterfremstillingen bruker du nå

P

og vektorene

\vec{P A}

\vec{P B}

i formelen:

\begin{array}{l} x & = 4 - 4 s - 4 t, \\ y & = - 4 + 4 s - 20 t, \\ z & = 4 + 20 s - 4 t . \end{array}

Forrige oppslag

Linjer i rommet

Tilbake