Det bestemte integralet

Integraler deles hovedsakelig inn i to kategorier: Bestemte integraler og ubestemte integraler. Dette oppslaget skal ta for seg det bestemte integralet. Det bestemte integralet bruker du når du skal finne integraler som er begrenset av en funksjonsgraf $f (x)$ , $x$ -aksen og to verdier på $x$ -aksen (arealer og volumer). Grafen kan både ligge over og under $x$ -aksen. Det er viktig at du kjenner til hvilke områder dette gjelder, da det kan påvirke svaret når du regner.

Først skal du se nærmere på det bestemte integralet og hvordan du regner med det:

Teori

Det bestemte integralet

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a), F^{'} (x) = f (x)

Grafen til en funksjon f og dets arealet markert i grått

NB! Hvis grafen til $f (x)$ ligger under $x$ -aksen mellom $a$ og $b$ vil $\int_{a}^{b} f (x) d x$ regne deler av arealet som negativt. I figuren over vil det bestemte integralet dermed ikke regne ut det skraverte arealet. Det vil regne ut arealet som ligger over $x$ -aksen minus arealet som ligger under $x$ -aksen. For å finne det skraverte arealet må du dele opp integralet ved nullpunktene og ta summen av de bestemte integralene der funksjonen er positiv minus summen av de bestemte integralene der funksjonen er negativ.

NB! Det er oppgaven som avgjør om du skal ta hensyn til den geometriske tolkningen eller ikke. Dersom oppgaven ber deg finne det bestemte integralet skal du regne ut direkte og ikke tenke på hvordan grafen ligger i forhold til $x$ -aksen. Dersom oppgaven ber deg finne et areal, må du ta hensyn til fortegnet og dele opp integrasjonen i den positive og negative delen!

Eksempel 1

Regn ut det bestemte integralet $\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin x d x$

I dette tilfellet kan du løse integralet direkte. Da blir det slik:

\begin{array}{l} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin x d x & = - \cos x |_{0}^{\frac{π}{3}} \\ = - \cos \frac{π}{3} - (- \cos 0) \\ = - \frac{1}{2} - (- 1) \\ = \frac{1}{2} \end{array}

Eksempel 2

Regn ut arealet mellom $x = 0$ , $x = \frac{3 π}{2}$ og funksjonen $\cos x$

I dette tilfellet skal du finne arealet og du må derfor finne hvor funksjonen ligger over og under $x$ -aksen. Det første du må gjøre er å finne nullpunktene til funksjonen på intervallet:

\begin{matrix} \cos x = 0 \\ ⇓ \\ x = \frac{π}{2} + n 2 π x = - \frac{π}{2} + n 2 π \end{matrix}

Du ser at $x = \frac{π}{2}$ ligger på intervallet $x \in [0, b \frac{3 π}{2}]$ . Det andre nullpunktet på intervallet er $- \frac{π}{2} + 2 π = \frac{3 π}{2}$ .

Grafen til cos(x) fra x=0 til x=3pi/2 og dets areal markert i grått

Av figuren ser du at grafen ligger over

x

-aksen på intervallet

[0, \frac{π}{2} ⟩

(Areal 1) og under

x

-aksen fra

⟨ \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2} ⟩

(Areal 2). Du må derfor regne ut integralet for hvert av dem.

Areal 1:

\begin{array}{l} A_{1} & = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x d x \\ = \sin x |_{0}^{\frac{π}{2}} \\ = \sin \frac{π}{2} - (- \sin 0) \\ = 1 - 0 \\ = 1 \end{array}

Areal 2:

\begin{array}{l} A_{2} & = \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos x d x \\ = \sin x |_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \\ = \sin \frac{3 π}{2} - (\sin \frac{π}{2}) \\ = - 1 - 1 \\ = - 2 \end{array}

Arealet av området blir dermed:

A = Areal 1 - Areal 2 = 1 - (- 2) = 3 .

Eksempel 3

Hva skjer med arealet dersom du ikke tar hensyn til hvordan grafen ligger i forhold til $x$ -aksen, når det både ligger over og under?

På figuren ser du at arealet du skal regne ut består av området $A$ , $- A$ og $B$ . Det vil si at arealet skal være slik som i Eksempel 2:

| A | + | - A | + | B | = 2 A + B

Men, siden deler av grafen ligge over $x$ -aksen ( $A$ ) og deler av grafen ligger under $x$ -aksen ( $- A$ og $B$ ), så slår $A$ og $- A$ hverandre ihjel, slik at de arealene nulles ut. Du sitter da igjen med det skraverte arealet $B$ og integralet vil gi deg svaret:

A + (- A) + B = A - A + B = B

Det er åpenbart at $B$ ikke er arealet av $2 A + B$ . Derfor må du følge med på om oppgaveteksten vil ha et areal eller en utregning av et bestemt integralet!

Grafen til cos(x) fra x=0 til x=3pi/2

NB!

I tilfellet der hele grafen ligger over $x$ -aksen vil utregningen for arealet og den teoretiske utregningen for det bestemte integralet være like.
I tilfellet der hele grafen ligger under $x$ -aksen vil utregningen for arealet og den teoretiske utregningen for det bestemte integralet ha samme verdi men motsatt fortegn.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Grunnleggende sammenhenger

Neste oppslag

Det ubestemte integralet

Tilbake