Hvordan løse trigonometriske likninger

Eksempel 1

Likning på formen $a \cos v + b \sin v = 0$

I dette tilfellet deler du på $\cos x \neq 0$ på begge sider av likningen for å få et uttrykk med $\tan x$ . Dette funker fordi $\tan v = \frac{\sin v}{\cos v}$ . Til slutt må du i dette eksempelet sjekke tilfellet $\cos 2 x = 0$ for å passe på at du ikke mister noen løsninger.
Du skal løse likningen
$4cos2x + 4sin2x = 0,$ (1)

for $x \in [0, 4 π ⟩$ .

\begin{array}{l} 4 \cos 2 x + 4 \sin 2 x & = 0 | : 4 \\ \cos 2 x + \sin 2 x & = 0 | : \cos 2 x \neq 0 \\ \frac{\cos 2 x}{\cos 2 x} + \frac{\sin 2 x}{\cos 2 x} & = 0 \\ 1 + \tan 2 x & = 0 \\ \tan 2 x & = - 1 \\ 2 x & = \frac{3 π}{4} + n \cdot π \\ x & = \frac{3 π}{8} + n \cdot \frac{π}{2} \end{array}

I intervallet

[0, 4 π ⟩

gir det løsningene

\begin{array}{l} x \in & {\frac{3 π}{8}, \frac{7 π}{8}, \frac{11 π}{8}, \frac{15 π}{8}, \\ \frac{19 π}{8}, \frac{23 π}{8}, \frac{27 π}{8}, \frac{31 π}{8}} . \end{array}

x \in {\frac{3 π}{8}, \frac{7 π}{8}, \frac{11 π}{8}, \frac{15 π}{8}, \frac{19 π}{8}, \frac{23 π}{8}, \frac{27 π}{8}, \frac{31 π}{8}} .

Du må nå sjekke om

\cos 2 x = 0

gir flere løsninger. Merk at

\cos 2 x = 0

er det samme som

\sin 2 x = 1

eller

\sin 2 x = - 1

:

\begin{array}{l} \sin 2 x & = 1 \\ \lor \\ \sin 2 x & = - 1 \\ 2 x & = \frac{π}{2} + n \cdot 2 π \\ \lor \\ 2 x & = \frac{3 π}{2} + n \cdot 2 π \\ x & = \frac{π}{4} + n \cdot π \\ \lor \\ x & = \frac{3 π}{4} + n \cdot π \end{array}

\begin{array}{l} \sin 2 x & = 1 & \lor & \sin 2 x & = - 1 \\ 2 x & = \frac{π}{2} + n \cdot 2 π & \lor & 2 x & = \frac{3 π}{2} + n \cdot 2 π \\ x & = \frac{π}{4} + n \cdot π & \lor & x & = \frac{3 π}{4} + n \cdot π \end{array}

Fra dette får du følgende løsninger i intervallet

[0, 4 π ⟩

:

x \in {\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}, \frac{9 π}{4}, \frac{11 π}{4}, \frac{13 π}{4}, \frac{15 π}{4}}

Du må nå sette prøve på disse svarene i hovedlikningen (1):

$x = \frac{π}{4}$ : $\begin{array}{l} V.S & = 4 \cos (2 \cdot \frac{π}{4}) + 4 \sin (2 \cdot \frac{π}{4}) \\ = 4 \cdot 0 + 4 \cdot 1 \\ = 4 \\ \neq 0 \\ = H.S \end{array}$

$x = \frac{3 π}{4}$ : $\begin{array}{l} V.S & = 4 \cos (2 \cdot \frac{3 π}{4})) + 4 \sin (2 \cdot \frac{3 π}{4}) \\ = 4 \cdot 0 + 4 \cdot (- 1) \\ = - 4 \\ \neq 0 \\ = H.S \end{array}$

$x = \frac{5 π}{4}$ : $\begin{array}{l} V.S & = 4 \cos (2 \cdot \frac{5 π}{4}) + 4 \sin (2 \cdot \frac{5 π}{4}) \\ = 4 \cdot 0 + 4 \cdot 1 \\ = 4 \\ \neq 0 \\ = H.S \end{array}$

$x = \frac{7 π}{4}$ : $\begin{array}{l} V.S & = 4 \cos (2 \cdot \frac{7 π}{4}) + 4 \sin (2 \cdot \frac{7 π}{4}) \\ = 4 \cdot 0 + 4 \cdot (- 1) \\ = - 4 \\ \neq 0 \\ = H.S \end{array}$

$x = \frac{9 π}{4}$ : $\begin{array}{l} V.S & = 4 \cos (2 \cdot \frac{9 π}{4}) + 4 \sin (2 \cdot \frac{9 π}{4}) \\ = 4 \cdot 0 + 4 \cdot 1 \\ = 4 \\ \neq 0 \\ = H.S \end{array}$

$x = \frac{11 π}{4}$ : $\begin{array}{l} V.S & = 4 \cos (2 \cdot \frac{11 π}{4}) + 4 \sin (2 \cdot \frac{11 π}{4}) \\ = 4 \cdot 0 + 4 \cdot (- 1) \\ = - 4 \\ \neq 0 \\ = H.S \end{array}$

$x = \frac{13 π}{4}$ : $\begin{array}{l} V.S & = 4 \cos (2 \cdot \frac{13 π}{4}) + 4 \sin (2 \cdot \frac{13 π}{4}) \\ = 4 \cdot 0 + 4 \cdot 1 \\ = 4 \\ \neq 0 \\ = H.S \end{array}$

$x = \frac{15 π}{4}$ : $\begin{array}{l} V.S & = 4 \cos (2 \cdot \frac{15 π}{4}) + 4 \sin (2 \cdot \frac{15 π}{4}) \\ = 4 \cdot 0 + 4 \cdot (- 1) \\ = - 4 \\ \neq 0 \\ = H.S \end{array}$

Likningen (1) har ingen flere løsninger og du kan konkludere med at løsningsmengden i intervallet $[0, 4 π ⟩$ er:

x \in {\frac{3 π}{8}, \frac{7 π}{8}, \frac{11 π}{8}, \frac{15 π}{8}, \frac{19 π}{8}, \frac{23 π}{8}, \frac{27 π}{8}, \frac{31 π}{8}}

NB! Dette er en svært tungvint måte å sjekke om $\cos 2 x = 0$ gir flere løsninger, men den fører alltid frem! En annen måte å sjekke $\cos 2 x = 0$ er å betrakte hovedlikningen og bruke det du kan om trigonometriske funksjoner til å analysere.

Eksempel 2

Likninger på formen

a \cos (2 x) + b \cos x + c = 0

krever at du bruker identitetene
$\cos (2 x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x$

og
$\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1 .$

Løs likningen
$\cos (2 x) + \cos x + 1 = 0, x \in [0, 2 π ⟩$

\begin{array}{l} \cos (2 x) + \cos x + 1 & = 0 \\ \cos^{2} x - \sin^{2} x + \cos x + 1 & = 0 \\ \cos^{2} x - (1 - \cos^{2} x) + \cos x + 1 & = 0 \\ 2 \cos^{2} x + \cos x & = 0 \\ \cos x (2 \cos x + 1) & = 0 \end{array}

Du bruker nullfaktorregelen og ser på de to likningene

\cos x = 0

og

2 \cos x + 1 = 0

. Likningen

\cos x = 0

har løsningene

\begin{array}{l} x_{1} & = \frac{π}{2} + n \cdot 2 π, \\ x_{2} & = - \frac{π}{2} + n \cdot 2 π . \end{array}

Likingen $2 \cos x + 1 = 0$ skriver du om som grunnlikningen $\cos x = - \frac{1}{2}$ . Den har løsningene

\begin{array}{l} x_{3} & = \frac{2 π}{3} + n \cdot 2 π, \\ x_{4} & = - \frac{2 π}{3} + n \cdot 2 π . \end{array}

Løsningsmengden for intervallet $[0, 2 π ⟩$ blir dermed

x \in {\frac{π}{2}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{3 π}{2}} .

Eksempel 3

Likninger på formen

a \cos^{2} x - b \sin x = c

krever at du bruker identiteten
$\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$

og deretter substitusjon.
Løs likningen
$2 \cos^{2} x - \sin x = 1, x \in [0, 2 π ⟩$

\begin{array}{l} 2 (1 - \sin^{2} x) - \sin x & = 1 \\ 2 - 2 \sin^{2} x - \sin x & = 1 \\ - 2 \sin^{2} x - \sin x + 1 & = 0 \end{array}

Du setter

u = \sin x

inn i likningen og får:

- 2 u^{2} - u + 1 = 0 .

Løs andregradslikningen:

u = \frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 1}}{- 4} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{- 4}

Altså er løsningene

u_{1} = - 1 u_{2} = \frac{1}{2}

Sett nå $\sin x$ inn for $u$ :

\begin{array}{l} \sin x & = - 1 \\ x_{1} & = \frac{3 π}{2} + n \cdot 2 π \\ x_{2} & = π - \frac{3 π}{2} + n \cdot 2 π \\ = - \frac{π}{2} + n \cdot 2 π \\ \sin x & = \frac{1}{2} \\ x_{3} & = \frac{π}{6} + n \cdot 2 π \\ x_{4} & = π - \frac{π}{6} + n \cdot 2 π \\ = \frac{5 π}{6} + n \cdot 2 π \end{array}

\begin{array}{l} \sin x & = - 1 & \sin x & = \frac{1}{2} \\ x_{1} & = \frac{3 π}{2} + n \cdot 2 π & x_{3} & = \frac{π}{6} + n \cdot 2 π \\ x_{2} & = π - \frac{3 π}{2} + n \cdot 2 π & x_{4} & = π - \frac{π}{6} + n \cdot 2 π \\ = - \frac{π}{2} + n \cdot 2 π & = \frac{5 π}{6} + n \cdot 2 π \end{array}

Løsningsmengden på intervallet

[0, 2 π ⟩

blir dermed:

x \in {\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}}

Legg merke til at $- \frac{π}{2}$ ikke er med i løsningsmengden. Det er fordi den ligger utenfor intervallet du undersøker.

Likning på formen acos ⁡ v + bsin ⁡ v = 0

Likning på formen $a \cos v + b \sin v = 0$