Arealet av en trekant

Å finne arealet av en trekant utspent av $\vec{u}$ og $\vec{v}$ er det samme som å beregne lengden av $\vec{u} \times \vec{v}$ -vektoren, og så dele på to. Det er altså arealet av et parallellogram delt på to. Dersom du har vinkelen mellom de to vektorene bruker du denne formelen:

Formel

Arealet av en trekant med en kjent vinkel

\begin{array}{l} \frac{1}{2} \cdot | \vec{u} \times \vec{v} | = \frac{1}{2} \cdot | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cdot \sin α, \\ α = ∠ (\vec{u}, \vec{v}) \end{array}

\frac{1}{2} \cdot | \vec{u} \times \vec{v} | = \frac{1}{2} \cdot | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cdot \sin α, α = ∠ (\vec{u}, \vec{v})

Dersom du har vektorene på vektorkoordinatform bruker du denne formelen:

Formel

Arealet av en trekant på vektorkoordinatform

\begin{array}{l} \frac{1}{2} | \vec{u} \times \vec{v} | & = \frac{1}{2} | \begin{matrix} [x_{1}, & y_{1}, & z_{1}] \\ \times \\ [x_{2}, & y_{2}, & z_{2}] \end{matrix} | \\ = \frac{1}{2} | [y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}, z_{1} x_{2} - z_{2} x_{1}, \\ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}] | \end{array}

\begin{array}{l} \frac{1}{2} | \vec{u} \times \vec{v} | & = \frac{1}{2} | \begin{matrix} (x_{1}, & y_{1}, & z_{1}) \\ \times \\ (x_{2}, & y_{2}, & z_{2}) \end{matrix} | \\ = \frac{1}{2} | [y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}, z_{1} x_{2} - z_{2} x_{1}, x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}] | \end{array}

Areal av trekant utspent av to vektorer u og v

Eksempel 1

Du skal finne arealet av trekanten som er utspent av $\vec{u} = [1, 3, 2]$ og $\vec{v} = [3, 2, 4]$ .

Du regner ut kryssproduktet slik som i oppslaget om vektorprodukt. I dette tilfellet blir kryssproduktet $[16, 2, 11]$ . Lengden av vektoren vil være arealet av firkanten. Du må derfor dele lengden på 2 for å finne arealet av trekanten:

\begin{array}{l} \frac{1}{2} \sqrt{1 6^{2} + 2^{2} + 1 1^{2}} & = \frac{1}{2} \sqrt{256 + 4 + 121} \\ = \frac{1}{2} \sqrt{381} \\ \approx 9, 8 . \end{array}

Trekanten har areal tilnærmet lik $9, 8$ .

Forrige oppslag

Arealet av et parallellogram

Neste oppslag

Volumet av firkantprisme, pyramide og tetraeder

Tilbake