Arealet av et parallellogram

Å finne arealet av et parallellogram utspent av $\vec{u}$ og $\vec{v}$ er det samme som å beregne lengden av $\vec{u} \times \vec{v}$ -vektoren.

Areal utspent av vektorere u og v

Dersom du har vinkelen mellom de to vektorene kan du bruke denne formelen:

Formel

| \vec{u} \times \vec{v} | = | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cdot \sin α, α = ∠ (\vec{u}, \vec{v})

Dersom du har vektorene på vektorkoordinatform bruker du denne formelen:

Formel

\begin{array}{l} | \vec{u} \times \vec{v} | & = | \begin{matrix} [x_{1}, & y_{1}, & z_{1}] \\ \times \\ [x_{2}, & y_{2}, & z_{2}] \end{matrix} | \\ = | [y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}, z_{1} x_{2} - z_{2} x_{1}, \\ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}] | \end{array}

| \vec{u} \times \vec{v} | = | \begin{matrix} [x_{1}, & y_{1}, & z_{1}] \\ \times \\ [x_{2}, & y_{2}, & z_{2}] \end{matrix} | = | [y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}, z_{1} x_{2} - z_{2} x_{1}, x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}] |

Eksempel 1

Du skal finne arealet av firkanten som er utspent av $\vec{u} = [1, 3, - 2]$ og $\vec{v} = [- 3, 2, 4]$ .

De begynner med å regne ut kryssproduktet:

\begin{array}{l} \vec{u} \times \vec{v} = \begin{matrix} [1, & 3, & - 2] \\ \times \\ [- 3, & 2, & 4] \end{matrix} \\ = [3 \cdot 4 - 2 \cdot (- 2), (- 2) \cdot (- 3) - 1 \cdot 4, \\ 1 \cdot 2 - (- 3) \cdot 3] \\ = [12 + 4, 6 - 4, 2 + 9] \\ = [16, 2, 11] . \end{array}

\begin{array}{l} \vec{u} \times \vec{v} & = \begin{matrix} [1, & 3, & - 2] \\ \times \\ [- 3, & 2, & 4] \end{matrix} \\ = [3 \cdot 4 - 2 \cdot (- 2), (- 2) \cdot (- 3) - 1 \cdot 4, 1 \cdot 2 - (- 3) \cdot 3] \\ = [12 + 4, 6 - 4, 2 + 9] \\ = [16, 2, 11] . \end{array}

Lengden av vektoren vil nå være arealet av firkanten. Du regner ut lengden slik:

\begin{array}{l} \sqrt{1 6^{2} + 2^{2} + 1 1^{2}} & = \sqrt{256 + 4 + 121} \\ = \sqrt{381} \\ \approx 19, 5 \end{array}

\sqrt{1 6^{2} + 2^{2} + 1 1^{2}} = \sqrt{256 + 4 + 121} = \sqrt{381} \approx 19, 5

Firkanten har areal tilnærmet lik

19, 5

Eksempel 2

Hvis du har to vektorer

\vec{a}

\vec{b}

, der

| \vec{a} | = 5

| \vec{b} | = 7

og vinkelen mellom de to er

30

°, kan du regne ut arealet av parallellogrammet de utspenner ved å sette inn i formelen:

\begin{array}{l} | \vec{a} \times \vec{b} | & = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \sin α \\ = 5 \cdot 7 \cdot \sin 30 ° \\ = 5 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} \\ = \frac{35}{2} \\ = 17, 5 . \end{array}

Firkanten har alreal lik $17, 5$ .