House of Math

Inntekt sier hvor mye en bedrift omsetter for, altså hvor mye penger som kommer inn på kontoen til bedriften. Om du ikke får oppgitt en inntektsfunksjon bruker du denne generelle formelen:

I (x) = p \cdot x

der $x$ er antall enheter solgt og $p$ er prisen per enhet.

Teori

Kostnad

Kostnad sier hvor mye penger som går ut av kontoen til bedriften ved produksjon av $x$ enheter,

K (x) .

Du deler kostnadene inn i faste kostnader og variable kostnader:

Faste kostnader (FK) er uavhengig av produksjonsmengden, slik som husleie og telefon.

Variable kostnader (VK) er avhengig av produksjonsmengden, slik som lønn og materialkostnader.

Teori

Enhetskostnad

Enhetskostnad sier hvor mye det koster å produsere én enhet. Du finner den ved å dele kostnadene på antall enheter:

Enhetskostnad = E (x) = \frac{K (x)}{x} .

Teori

Overskuddet

Overskuddet sier hvor mye penger som er til overs eller for lite i en periode. Overskuddet er differensen mellom inntekt og kostnad for en gitt periode. Dette kan oppgis som

Overskudd = O (x) = I (x) - K (x) .

Grafisk tolkning

Inntektsgrafen er stigende. Det betyr at jo flere enheter du selger av et produkt desto mer penger kommer inn til bedriften.
Kostnadsgrafen er også stigende. Det betyr at jo flere enheter du selger av et produkt desto større er produksjonen, og kostnadene øker.
Overskuddet er ofte en krum graf. Lite overskudd i begynnelsen, godt overskudd ved en gitt produksjon og mindre overskudd igjen ved store produksjoner. At overskuddet avtar mot slutten av et intervall har ofte med kapasitet og slitasje å gjøre.
Der kostnadsfunksjonen skjærer inntektsfunksjonen er overskuddet = 0. Det betyr at overskuddsfunksjonen skjærer $x$ -aksen i disse punktene.
Der avstanden mellom inntektsfunksjonen og kostnadsfunksjonen er størst, er overskuddet størst og $O (x)$ har et toppunkt. Optimal produksjonsmengde finner du for $x$ -verdien i dette toppunktet.

Den minste $x$ -verdien for enhetskostnadene finner du der

K^{'} (x) = E (x) .

Eksempel 1

BMW regner med at kostnadene, målt i tusen euro, ved en produksjon av $x$ enheter av en ny biltype per dag er gitt ved funksjonen

$K (x) = 0, 25 x^{2} + 100 x + 5000, x \in [0, 400 ⟩ .$

$K (x) = 0, 25 x^{2} + 100 x + 5000, x \in [0, 400 ⟩ .$

1.
Finn et uttrykk for enhetskostnaden.
2.
Hva er enhetskostnaden ved en produksjon på 76 biler?
3.
BMW selger denne biltypen for $200 000$ euro per bil. Hva blir inntektsfunksjonen?
4.
Hva er inntekten ved salg av 132 biler?
5.
Finn nå et uttrykk for overskuddet.
6.
Hvor mange biler må BMW produsere for å gå i overskudd?

1.

Du finner enhetskostnaden ved å dele totalkostnaden

K (x)

på antall enheter

x

.

\begin{array}{l} E (x) & = \frac{K (x)}{x} \\ = \frac{0, 25 x^{2} + 100 x + 5000}{x} \\ = 0, 25 x + 100 + \frac{5000}{x} \end{array}

Enhetskostnaden er dermed

E (x) = 0, 25 x + 100 + \frac{5000}{x} .

2.

Enhetskostnaden ved en produksjon på 76 biler blir dermed:

\begin{array}{l} E (76) & = 0, 25 (76) + 100 + \frac{5000}{76} \\ = 184, 789 \end{array}

E (76) = 0, 25 (76) + 100 + \frac{5000}{76} = 184, 789

Siden tallene i funksjonen er i tusen euro blir enhetskostnaden ved produksjon av 76 biler

184, 789 \cdot 1000 = 184 789

Altså, når BMW produserer 76 biler koster hver bil $184 789$ euro å produsere.

3.

Siden oppgaven sier at funksjonene er i tusen euro, må du først dele

200 000

euro på 1000 for at det skal bli riktig i funksjonen. Da får du:

200 000 : 1000 = 200

Dermed kan du lage et uttrykk for inntektsfunksjonen ved å gange prisen med antall enheter:

I (x) = 200 x

4.

For å finne inntekten setter du rett inn i inntektsfunksjonen og får:

I (132) = 200 \cdot 132 = 26 400

Men, siden funksjonen er i tusen euro må du gange svaret ditt med 1000. Dermed får du:

26 400 \cdot 1000 = 26 400 000

Ved salg av 132 biler blir inntekten til BMW $26 400 000$ euro.

5.

Overskuddet er inntekter minus kostnader. Da får du som følger:

\begin{array}{l} O (x) & = I (x) - K (x) \\ = 200 x \\ - (0, 25 x^{2} + 100 x + 5000) \\ = - 0, 25 x^{2} + 100 x - 5000 . \end{array}

\begin{array}{l} O (x) & = I (x) - K (x) \\ = 200 x - (0, 25 x^{2} + 100 x + 5000) \\ = - 0, 25 x^{2} + 100 x - 5000 . \end{array}

6.

Dette betyr at du må finne den

x

-verdien som gjør at overskuddet er større enn null. Da må du løse ulikheten:

\begin{array}{l} O (x) & > 0 \\ - 0, 25 x^{2} + 100 x - 5000 & > 0 \end{array}

Du ser av funksjonen at det er en parabel med toppunkt siden det er en andregradsfunksjon med $a = - 0, 25 < 0$ . Da vet du at funksjonene ligger over $x$ -aksen mellom nullpunktene. Du må derfor finne disse:

Du løser likningen

- 0, 25 x^{2} + 100 x - 5000 = 0 .

Du kan løse denne likningen i et digitalt hjelpemiddel som CAS i GeoGebra . Da får du at svaret er $x_{1} \approx 58, 6$ og $x_{2} = 341, 4$ . Du kan dermed konkludere med at produksjonen gir BMW et overskudd dersom de selger mellom 59 og 341 biler.