Tall og måling

Meny

1

Titallsystemet og tallene opp til 100

Aktivitetssett 1

2

3

Hvordan sammenlikne størrelsen til tall

4

Tiervenner og tiergrupper opp til 100

Aktivitetssett 1

5

Partall og oddetall

Aktivitetssett 1

6

Plassverdisystemet

7

8

Mengdenotasjon og intervaller

9

Aktivitetssett 1

10

Undersøke tallmønstre

Aktivitetssett 1

11

Tallfølger og mønstre

Aktivitetssett 1

12

Hva er aritmetiske tallfølger?

Aktivitetssett 1

13

Kvadrattall, kubikktall, rektangeltall og trekanttall

Aktivitetssett 1

14

Rekursive og eksplisitte formler

Aktivitetssett 1

15

Hva er rekker i matematikk?

Aktivitetssett 1

16

Aritmetiske rekker

Aktivitetssett 1

17

Tallrekker og serielån

18

Geometriske rekker

Aktivitetssett 1

19

Uendelige geometriske rekker og konvergensområder

Aktivitetssett 1

20

Tallrekker og annuitetslån

Aktivitetssett 1

21

Nåverdier og tidslinjer

Aktivitetssett 1

22

Sluttverdier og tidslinjer

23

Sammensatte eksempler om rekker

24

25

Aktivitetssett 1

26

27

De negative tallene

Aktivitetssett 1

28

Regning med negative tall

Aktivitetssett 1

29

Aktivitetssett 1

30

Primtallfaktorisering (stolpemetoden)

Aktivitetssett 1

31

Primtallfaktorisering (paraplymetoden)

Aktivitetssett 1

32

Aktivitetssett 1

33

Regning med standardform

Aktivitetssett 1

34

Standardform og normalform

Aktivitetssett 1

35

Hva er komplekse tall?

36

Hva er det komplekse planet?

37

Hva er polarform for komplekse tall?

38

Hva er norm og argument til et komplekst tall?

39

Hva er Eulers formel med komplekse tall?

40

Hva er den komplekskonjugerte?

41

Addisjon og subtraksjon av komplekse tall

42

Hvordan gange komplekse tall

43

Hvordan forenkle komplekse brøker

44

Hvordan finne komplekse n-te røtter

45

Hva er de Moivres formel og hvordan bruker du den?

46

Hvordan regner du ut avstanden mellom to komplekse tall

47

Hvordan finner du midtpunktet mellom to komplekse tall

48

Hvordan løse lineære likninger med komplekse tall

49

Hvordan løse andregradslikninger med komplekse tall

50

Hvordan faktorisere komplekse polynomer

51

Hva er algebraens fundamentalteorem?

52

Addisjon ved hjelp av tallinjen

Aktivitetssett 1

53

Subtraksjon ved hjelp av tallinjen

Aktivitetssett 1

54

Pluss og minus (plassverdisystemet)

55

Pluss eller addisjon

Aktivitetssett 1

56

Minus eller subtraksjon

Aktivitetssett 1

57

58

Den lille gangetabellen

59

Slik må du kunne gangetabellen

60

Å gange med 10

Aktivitetssett 1

61

Å gange med 100

Aktivitetssett 1

62

Å gange med 1000

Aktivitetssett 1

63

Gangemetoden (Å gange store tall)

64

Aktivitetssett 1

65

66

Aktivitetssett 1

67

Aktivitetssett 1

68

Aktivitetssett 1

69

Å dele på 100

Aktivitetssett 1

70

Å dele på 1000

Aktivitetssett 1

71

Delemetoden (Oppskrift på å dele tall)

Aktivitetssett 1

72

Delemetoden eksempler

73

74

75

76

Aktivitetssett 1

77

Kvadratrot til produkt og brøk

78

Regnerekkefølge (MDAS)

Aktivitetssett 1

79

Parenteser og tall

Aktivitetssett 1

80

Regnerekkefølge (PEMDAS)

81

82

Hoderegning (overslag)

Aktivitetssett 1

83

Hoderegningsteknikker

84

Aktivitetssett 1

85

Aktivitetssett 1

86

87

Forstå brøker

88

Størrelsen på en brøk

Aktivitetssett 1

89

Ulike typer brøker

90

91

92

Forkorte brøk ved stryking

93

Brøk (Pluss og minus med like nevnere)

94

Brøk (Pluss og minus med ulike nevnere)

95

Fellesnevner (Å gange nevnerne med hverandre)

96

Fellesnevner (Å utvide eller forkorte den ene brøken)

97

Fellesnevner (Bruke gangetabellen)

98

Fellesnevner (Ved primtallfaktorisering)

99

Brøk (Å gange)

100

Brøk (Ganging ved hjelp av stryking)

101

Brøk (Å dele)

102

Prosent og basisbrøkene

103

104

Prosentvis endring

105

106

Regning med vekstfaktor

107

108

Aktivitetssett 1

109

Fra prosent til brøk og desimaltall

110

Fra brøk og desimaltall til prosent

111

Fra desimaltall til brøk og tilbake

112

Brøk, desimaltall og prosent

Aktivitetssett 1

113

Promille (Omgjøring)

114

Brøk til promille

115

Aktivitetssett 1

116

Aktivitetssett 1

117

Aktivitetssett 1

118

Aktivitetssett 1

119

Aktivitetssett 1

120

Aktivitetssett 1

121

Hva er massetetthet?

Aktivitetssett 1

122

Temperaturer (Celsius)

Aktivitetssett 1

123

Regning med måleenheter

Aktivitetssett 1

124

Å forstå måling

Aktivitetssett 1

125

Amerikanske måleenheter

126

Amerikanske lengder

127

Amerikanske enheter for areal

128

Amerikanske enheter for volum

129

Amerikanske enheter for vekt

130

Amerikanske enheter for tetthet

131

Temperaturer (Fahrenheit)

132

Regning med amerikanske måleenheter

133

Omgjøring fra amerikanske til metriske måleenheter

134

Omgjøring fra metrisk til amerikanske enheter

135

Hva er et siffer?

Aktivitetssett 1

136

Gjeldende sifre

137

Presisjon og måleusikkerhet

Aktivitetssett 1

138

Absolutt og relativ målusikkerhet

139

Digital og analog klokke

140

141

Aktivitetssett 1

142

143

Hele og halve timer

144

145

Ti på og ti over

146

Fem på og fem over

147

Hoderegning (klokka)

148

149

Aktivitetssett 1

150

Aktivitetssett 1

151

Aktivitetssett 1

152

Året og årstidene

Aktivitetssett 1

153

Aktivitetssett 1

154

Målestokk (Arbeidstegning)

Aktivitetssett 1

155

Forholdet mellom to tall

Aktivitetssett 1

156

Blandingsforhold

Aktivitetssett 1

157

Vei, fart og tid

Aktivitetssett 1

158

Aktivitetssett 1

159

Aktivitetssett 1

160

Aktivitetssett 1

161

Å telle penger

Aktivitetssett 1

162

Aktivitetssett 1

163

Aktivitetssett 1

164

Personlig økonomi

Aktivitetssett 1

165

Aktivitetssett 1

166

Provisjonslønn

167

Skatt, trekkgrunnlag, lønn

Aktivitetssett 1

Aktivitetssett 2

168

Aktivitetssett 1

169

Aktivitetssett 1

170

Aktivitetssett 1

171

Kroneverdi og konsumprisindeks

Aktivitetssett 1

172

Prisindeks og konsumprisindeks (KPI)

Aktivitetssett 1

173

Aktivitetssett 1

174

Aktivitetssett 1

175

Aktivitetssett 1

176

Aktivitetssett 1

177

Aktivitetssett 1

178

Regnskap (Regneark)

Aktivitetssett 1

179

Aktivitetssett 1

180

Mer om renteregning

181

Aktivitetssett 1

182

Inntekt, kostnad, enhetskostnad og overskudd

Aktivitetssett 1

183

Inntekter ved etterspørsel og pris

Aktivitetssett 1

184

Grenseinntekt, grensekostnad og grenseoverskudd

Aktivitetssett 1

185

Kostnadsoptimal produksjonsmengde

186

Vinningsoptimal produksjonsmengde

187

Hva er en vektor?

Aktivitetssett 1

188

Vektorkoordinater

Aktivitetssett 1

189

Hva er en posisjonsvektor?

Aktivitetssett 1

190

Sum og differanse av vektorer

Aktivitetssett 1

191

Tall multiplisert med en vektor

Aktivitetssett 1

192

Vektoren mellom to punkter

Aktivitetssett 1

193

Lengden av en vektor

Aktivitetssett 1

194

Avstanden mellom to punkter

Aktivitetssett 1

195

Parallelle vektorer

Aktivitetssett 1

196

Skalarprodukt i to dimensjoner

Aktivitetssett 1

197

Vinkelen mellom to vektorer

Aktivitetssett 1

198

Enhetsvektorene

Aktivitetssett 1

199

Aktivitetssett 1

200

Mediansetningen med vektorer

201

Parameterfremstilling

Aktivitetssett 1

202

Vektorlikninger

Aktivitetssett 1

203

Vektorfunksjoner

Aktivitetssett 1

204

Vektorer i rommet

Aktivitetssett 1

205

Skalarproduktet i tre dimensjoner

Aktivitetssett 1

206

Vektorproduktet

Aktivitetssett 1

207

Høyrehåndsregelen

208

Arealet av et parallellogram

209

Arealet av en trekant

210

Volumet av firkantprisme, pyramide og tetraeder

Aktivitetssett 1

211

Hva er en parameterfremstilling?

212

Linjer i rommet

Aktivitetssett 1

213

Aktivitetssett 1

214

Vinkel mellom to linjer

Aktivitetssett 1

215

Vinkel mellom linje og plan

Aktivitetssett 1

216

Vinkel mellom to plan

Aktivitetssett 1

217

Avstand fra punkt til linje

Aktivitetssett 1

218

Avstand mellom linjer

To linjer med avstand seg i mellom

Så lenge to linjer ikke skjærer hverandre vil det finnes ett punkt på hver av linjene der de er på sitt nærmeste. Når du skal finne avstanden mellom to linjer bruker du retningsvektoren til linjene for å finne en vektor mellom dem som er vinkelrett på begge. Dersom du har en linje $l$ med retningsvektor ${\vec{r}}_{l}$ og en linje $k$ med retningsvektor ${\vec{r}}_{k}$ vil denne fremgangsmåten gi avstanden:

Regel

Avstand mellom to linjer

1.

La

P

være et vilkårlig punkt på den ene linjen

l

og la

Q

være et vilkårlig punkt på den andre linjen

k

. Beskriv disse punktene ved hjelp av parameterfremstillingene for likningene.

2.

Lag et uttrykk for vektoren

\vec{P Q}

ved hjelp av parameterfremstillingene for hver av linjene.

3.

Du vil at

\vec{P Q}

skal stå vinkelrett på de to linjene siden det vil gi den korteste avstanden mellom linjene. Du vil derfor at

\vec{P Q} ⊥ {\vec{r}}_{l} \Leftrightarrow \vec{P Q} \cdot {\vec{r}}_{l} = 0

og

\vec{P Q} ⊥ {\vec{r}}_{k} \Leftrightarrow \vec{P Q} \cdot {\vec{r}}_{k} = 0 .

4.

Du har nå to likninger med to ukjente. Løs likningssettet.

5.

Du har nå funnet en verdi for

s

og en verdi for

t

. Sett dem tilbake i uttrykket for

\vec{P Q}

og finn et talluttrykk for vektoren.

6.

Finn så

| \vec{P Q} |

.

Eksempel 1

Finn avstanden mellom linjene
$\begin{array}{l} l : x (t) & = 1 + t, \\ y (t) & = 2 t, \\ z (t) & = 1 + 3 t \end{array}$

$\begin{array}{l} l : x (t) = 1 + t, y (t) = 2 t, z (t) = 1 + 3 t \end{array}$
og

$\begin{array}{l} k : x (t) & = 2 + s, \\ y (t) & = - 1 + s, \\ z (t) & = 1 + s \end{array}$

$\begin{array}{l} k : x (s) = 2 + s, y (s) = - 1 + s, z (s) = 1 + s \end{array}$

1.

Begynn med å lage et punkt

P

ved help av parametriseringen til

l

og et punkt

Q

ved hjelp av parametriseringen til

k

:

P = (1 + t, 2 t, 1 + 3 t),

og

Q = (2 + s, - 1 + s, 1 + s) .

2.

Lag

\vec{P Q}

:

\begin{array}{l} \vec{P Q} & = [2 + s - (1 + t), - 1 + s - (2 t), \\ 1 + s - (1 + 3 t)] \\ = [1 + s - t, - 1 + s - 2 t, s - 3 t] . \end{array}

\begin{array}{l} \vec{P Q} & = [2 + s - (1 + t), - 1 + s - (2 t), 1 + s - (1 + 3 t)] \\ = [1 + s - t, - 1 + s - 2 t, s - 3 t] . \end{array}

3.

Regn ut

\vec{P Q} ⊥ {\vec{r}}_{l} \Leftrightarrow \vec{P Q} \cdot {\vec{r}}_{l} = 0

og

\vec{P Q} ⊥ {\vec{r}}_{k} \Leftrightarrow \vec{P Q} \cdot {\vec{r}}_{k} = 0 .

Koordinatene til retningsvektoren $r_{l}$ er tallene som står foran $t$ i parameterfremstillingen og koordinatene til retningsvektoren $r_{k}$ er tallene som står foran $s$ i parameterfremstillingene:

\begin{array}{l} [1 + s - t, - 1 + s - 2 t, s - 3 t] \cdot [1, 2, 3] \\ = 0 \\ 1 + s - t - 2 + 2 s - 4 t + 3 s - 9 t = 0 \\ - 1 + 6 s - 14 t = 0 \\ [1 + s - t, - 1 + s - 2 t, s - 3 t] \cdot [1, 1, 1] \\ = 0 \\ 1 + s - t - 1 + s - 2 t + s - 3 t = 0 \\ 3 s - 6 t = 0 \end{array}

\begin{array}{l} [1 + s - t, - 1 + s - 2 t, s - 3 t] \cdot [1, 2, 3] & = 0 \\ 1 + s - t - 2 + 2 s - 4 t + 3 s - 9 t & = 0 \\ - 1 + 6 s - 14 t & = 0 \\ [1 + s - t, - 1 + s - 2 t, s - 3 t] \cdot [1, 1, 1] & = 0 \\ 1 + s - t - 1 + s - 2 t + s - 3 t & = 0 \\ 3 s - 6 t & = 0 \end{array}

4.

Løs likningssettet:

\begin{array}{l} 3 s - 6 t & = 0 \\ 3 s & = 6 t \\ s & = 2 t \\ - 1 + 6 s - 14 t & = 0 \\ ⇓ \\ - 1 + 6 \cdot 2 t - 14 t & = 0 \\ - 1 - 2 t & = 0 \\ t & = - \frac{1}{2} \\ s & = 2 t \\ ⇓ \\ s & = - 1 \end{array}

\begin{array}{l} - 1 + 6 s - 14 t & = 0 & 3 s - 6 t & = 0 \\ 3 s & = 6 t \\ s & = 2 t \\ - 1 + 6 \cdot 2 t - 14 t & = 0 \\ - 1 - 2 t & = 0 \\ t & = - \frac{1}{2} \\ s & = 2 \cdot (\frac{- 1}{2}) \\ s & = - 1 \end{array}

5.

Sett

s

og

t

tilbake i uttrykket for

\vec{P Q} :

\begin{array}{l} \vec{P Q} & = [1 + (- 1) - (\frac{- 1}{2}), \\ - 1 + (- 1) - 2 \cdot (\frac{- 1}{2}), \\ (- 1) - 3 \cdot (\frac{- 1}{2})] \\ = [\frac{1}{2}, - 1, \frac{1}{2}] . \end{array}

\begin{array}{l} \vec{P Q} & = [1 + (- 1) - (\frac{- 1}{2}), - 1 + (- 1) - 2 \cdot (\frac{- 1}{2}), (- 1) - 3 \cdot (\frac{- 1}{2})] \\ = [\frac{1}{2}, - 1, \frac{1}{2}] . \end{array}

6.

Du finner nå lengden av

\vec{P Q}

. Dette er avstanden mellom de to linjene:

\begin{array}{l} | \vec{P Q} | & = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + 1^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} \\ = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{4}} \\ = \sqrt{\frac{3}{2}} . \end{array}

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Ferdig

Aktivitetssett 1

219

Avstand fra punkt til plan

Aktivitetssett 1

220

Avstand mellom linje og plan

Aktivitetssett 1

221

Avstand mellom to plan

Aktivitetssett 1

222

Likningen for en kuleflate

Aktivitetssett 1

223

Overflaten av et kulesegment

Aktivitetssett 1

224

Skjæring mellom plan og koordinatakser

Aktivitetssett 1

225

Skjæring mellom linje og plan

Aktivitetssett 1

226

Skjæringslinjen mellom to plan

Aktivitetssett 1

227

Skjæring mellom tangentplan og kuleflate

Aktivitetssett 1

228

Skjæring mellom plan og kuleflate

Aktivitetssett 1